ماذا تحل هذه الحاسبة؟

تحل هذه الحاسبة أنظمة المعادلات الخطية 2×2 و3×3 بطريقة الحذف. تقوم الفكرة على ضرب معادلات بمعاملات مناسبة ثم جمعها أو طرحها حتى يختفي أحد المتغيرات.

لا تعرض الحاسبة قيم x وy وz فقط. بل تبدأ بتصنيف النظام: حل واحد، لا حل، أو حلول لا نهائية. ثم تعرض خطوات الحذف عندما يكون هناك مسار واضح مناسب لطريقة الحذف.

ما معنى طريقة الحذف؟

طريقة الحذف هي أسلوب لحل نظام معادلات عبر جعل معامل أحد المتغيرات يساوي صفرًا عند دمج معادلتين. بعد حذف متغير، يصبح النظام أبسط وأسهل في الحل.

• في نظام 2×2 نحذف عادة x أو y للحصول على معادلة بمتغير واحد.
• في نظام 3×3 نحذف متغيرًا من زوجين مختلفين من المعادلات، فنحصل على نظام 2×2 أصغر.
• بعد حل النظام الأصغر نعود إلى المعادلات الأصلية لإيجاد بقية المتغيرات.
• ظهور كسر في النتيجة أمر طبيعي، وليس علامة خطأ.

في العربية قد تسمى هذه الطريقة طريقة الحذف أو الإزالة. في هذا المحتوى نستخدم طريقة الحذف لأنها أكثر مباشرة للطالب: نحذف متغيرًا من المعادلات.

ما الفرق بين وضع 2×2 ووضع 3×3؟

في وضع 2×2 توجد معادلتان ومتغيران، لذلك يكفي حذف متغير واحد للوصول إلى معادلة بسيطة. في وضع 3×3 توجد ثلاث معادلات وثلاثة متغيرات، لذلك نحتاج إلى خطوات حذف أكثر قبل الوصول إلى الحل النهائي.

• 2×2: كل معادلة تحتوي على x وy وحد ثابت.
• 3×3: كل معادلة تحتوي على x وy وz وحد ثابت.
• عادة يبدأ حل 3×3 بتحويله إلى نظام 2×2.
• في الحالتين يظهر تصنيف النظام قبل تفاصيل الحل.

ما الخطوات التي تعرضها الحاسبة؟

تعرض الحاسبة خطوات الحذف كسلسلة عمليات على المعادلات: ضرب، دمج، حل النظام المصغر، ثم التعويض العكسي لإيجاد المتغيرات المتبقية.

1. اختيار متغير مناسب للحذف.
2. ضرب معادلتين بمعاملات تجعل معاملات المتغير متعاكسة.
3. جمع أو طرح المعادلتين حتى يختفي المتغير.
4. حل المعادلة أو النظام المصغر الناتج.
5. إرجاع القيم إلى معادلة أصلية لإيجاد بقية المتغيرات.
6. عرض التصنيف النهائي والحل الدقيق.

مثال كامل لنظام 2×2

لنأخذ النظام 2x + 3y = 13 و4x − y = 5. يمكن حذف y إذا ضربنا المعادلة الثانية في 3، فتصبح 12x − 3y = 15. عند جمعها مع المعادلة الأولى نحصل على 14x = 28.

1. النظام: 2x + 3y = 13 و4x − y = 5.
2. نضرب المعادلة الثانية في 3: 12x − 3y = 15.
3. نجمع المعادلتين: 14x = 28.
4. إذن x = 2.
5. نعوض في 4x − y = 5: تصبح 8 − y = 5، ومنه y = 3.

إذن الحل هو x = 2 وy = 3. هذا هو نوع التسلسل الذي تعرضه الحاسبة بدل الاكتفاء بالناتج النهائي.

كيف يعمل المثال في نظام 3×3؟

في نظام 3×3 تبدأ طريقة الحذف غالبًا بحذف المتغير نفسه من زوجين مختلفين من المعادلات. بعد ذلك يبقى لدينا نظام 2×2 بمتغيرين فقط، ثم نكمل الحل كالمعتاد.

1. نستخدم زوجًا من المعادلات لحذف x والحصول على معادلة في y وz.
2. نستخدم زوجًا آخر لحذف x مرة ثانية والحصول على معادلة ثانية في y وz.
3. نحل نظام 2×2 الناتج.
4. نعوض بقيم y وz في معادلة أصلية لإيجاد x.

ماذا تعني حل واحد أو لا حل أو حلول لا نهائية؟

ليس كل نظام معادلات يملك حلًا وحيدًا. قد تتقاطع المعادلات في نقطة واحدة، وقد تكون متناقضة، وقد تمثل علاقات تابعة تسمح بعدد لا نهائي من الحلول.

• حل واحد: نجد قيمًا محددة لـ x وy وربما z.
• لا حل: تظهر نتيجة متناقضة مثل 0 = k.
• حلول لا نهائية: تظهر هوية مثل 0 = 0 ولا يحدد النظام نقطة واحدة فقط.

طريقة الحذف أم طريقة التعويض؟

طريقة الحذف تزيل متغيرًا عبر دمج المعادلات. أما طريقة التعويض فتعزل متغيرًا في معادلة ثم تضع التعبير الناتج في معادلة أخرى. كلاهما صحيح، لكن لكل منهما استخدام تعليمي مختلف.

• طريقة الحذف مناسبة جدًا عندما يمكن جعل معاملات متغير ما متعاكسة بسهولة.
• طريقة الحذف أوضح غالبًا في أنظمة 3×3.
• طريقة التعويض قد تكون أسرع في نظام 2×2 إذا كان أحد المعاملات 1 أو −1.
• حاسبة نظام المعادلات مناسبة أكثر لمن يريد الجواب السريع دون التركيز على طريقة واحدة.

لذلك هذه الصفحة موجهة لمن يريد رؤية خطوات الحذف، لا لمن يبحث فقط عن الناتج النهائي.

أخطاء شائعة في طريقة الحذف

أكثر أخطاء طريقة الحذف تأتي من الإشارات أو من نسيان ضرب الطرف الأيمن للمعادلة. حتى لو كانت فكرة الطريقة بسيطة، فإن خطأ إشارة واحدًا قد يغيّر الحل كله.

• ضرب الطرف الأيسر فقط ونسيان ضرب الحد الثابت.
• استخدام الجمع بدل الطرح أو العكس.
• نسيان توزيع الإشارة السالبة على كل الحدود.
• في 3×3، حذف متغير مختلف في كل زوج من المعادلات.
• اعتبار حالة لا حل أو حلول لا نهائية خطأ في الإدخال دائمًا.

حدود هذه الحاسبة

هذه الحاسبة مخصصة لأنظمة المعادلات الخطية 2×2 و3×3 فقط. لا تعمل كحاسبة جبر عامة ولا تحل المعادلات غير الخطية أو الأنظمة التي تحتوي على معاملات رمزية.

• لا تدعم أنظمة أكبر من 3×3.
• لا تدعم حدودًا مثل x² أو xy أو 1/x.
• لا تحل أنظمة تحتوي على معاملات رمزية أو بارامترات.
• لا ترسم تقاطع المستقيمات أو المستويات.
• إذا لم يوجد مسار حذف نظيف في حالة degenerate، قد تعرض الحاسبة التصنيف العام مع ملاحظة توضيحية.