حاسبة معادلات القيمة المطلقة مقدمة من Hesapstan لحل المعادلات المنظمة على الصورة p|ax+b|+q=r خطوة بخطوة. لا تدعم هذه الأداة أكثر من مجموعة قيمة مطلقة واحدة، ولا صيغًا مثل |x²−1|، ولا الأعداد المركبة، ولا الرسم البياني، ولا الحلول الرمزية ذات المعاملات العامة.
تبدأ معادلة القيمة المطلقة بعزل |ax+b| = c
تعمل هذه الحاسبة مع الصورة p|ax+b|+q=r. الخطوة الأولى هي عزل عبارة القيمة المطلقة: |ax+b| = (r−q)/p. القيمة الموجودة في الطرف الأيمن هي c، ومنها نعرف هل يمكن أن توجد حلول حقيقية أم لا.
القيمة المطلقة تقيس مسافة عدد ما من الصفر على خط الأعداد. فـ|3| = 3 لأن 3 يبعد 3 وحدات عن الصفر، وكذلك |−3| = 3 لأن −3 يبعد هو الآخر 3 وحدات. هذا التفسير الهندسي يوضح طريقة الحالتين: إذا كانت |ax+b| = c فإن العبارة ax+b يجب أن تقع على بُعد c وحدات من الصفر، وذلك في أحد الاتجاهين.
معادلات مثل |x+1| + |x−2| = 5 أو |x²−1| = 3 ليست ضمن نطاق هذه الأداة. الصيغة المدعومة هي p|ax+b|+q=r فقط.
إذا كان الطرف المعزول سالبًا فلا يوجد حل حقيقي
القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة. بعد العزل، إذا أصبحت المعادلة |ax+b| = c وكانت c < 0، فإن مجموعة الحلول فارغة. مثلًا |x| = −1 لا تملك حلًا حقيقيًا.
إذا كانت |ax+b| = 0، فيجب أن تكون العبارة داخل القيمة المطلقة مساوية للصفر تمامًا. لذلك تنتهي الحالتان إلى القيمة نفسها ويظهر حل واحد فقط.
إذا كانت c موجبة تظهر حالتان خطيتان
عندما تكون |ax+b| = c و c > 0، يمكن أن تكون العبارة الداخلية مساوية لـ c أو مساوية لـ −c. لذلك تحل الحاسبة الحالتين ax+b=c و ax+b=−c كلًا على حدة، وتعرض قيمة x ككسر دقيق عند الحاجة، ثم تتحقق من كل حل بالتعويض.
في المعادلة 2|3x−1|+4=10 نحصل أولًا على |3x−1|=3. الحالة 1: 3x−1=3 وتعطي x=4/3. الحالة 2: 3x−1=−3 وتعطي x=−2/3. تتحقق الأداة من القيمتين في المعادلة الأصلية.
مثال محلول خطوة بخطوة: 2|3x−1|+4=10
توضح الخطوات التالية كيف تحل الحاسبة هذه المعادلة وتتحقق من كل حل.
- العزل: 2|3x−1| = 10−4 = 6، وبالتالي |3x−1| = 3
- بما أن c = 3 > 0 نحصل على حالتين.
- الحالة 1: 3x−1 = 3 ← 3x = 4 ← x = 4/3
- الحالة 2: 3x−1 = −3 ← 3x = −2 ← x = −2/3
- التحقق من الحالة 1: 2|3(4/3)−1|+4 = 2|4−1|+4 = 2×3+4 = 10 ✓
- التحقق من الحالة 2: 2|3(−2/3)−1|+4 = 2|−2−1|+4 = 2×3+4 = 10 ✓
- مجموعة الحلول: { 4/3، −2/3 }
في المعادلة |2x+5|+8=3 يعطي العزل: |2x+5| = 3−8 = −5. بما أن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة، فلا حل حقيقي لهذه المعادلة ومجموعة الحلول فارغة.
التحقق يساعد على كشف الحلول الناقصة أو غير الصحيحة
من الأخطاء الشائعة أن نحل الحالة ax+b=c فقط، أو أن لا ننتبه إلى أن الطرف الأيمن بعد العزل أصبح سالبًا. لذلك يعيد runtime تعويض كل قيمة مرشحة في المعادلة p|ax+b|+q=r ويعرض هل نجحت في التحقق أم لا.
لا يمكن أن يكون p أو a مساويًا للصفر. يمكن إدخال الفاصلة أو النقطة العشرية، لكن الأداة لا تدعم المعاملات الرمزية ولا الأعداد المركبة ولا الرسم البياني.
أسئلة شائعة
أي نوع من معادلات القيمة المطلقة تحله هذه الحاسبة؟
تحل المعادلات التي تحتوي على مجموعة قيمة مطلقة واحدة بالصورة p|ax+b|+q=r. يجب أن يكون a و p غير مساويين للصفر.
ما طريقة الحالتين؟
إذا كانت |ax+b|=c وكانت c موجبة، فالعبارة الداخلية قد تساوي c أو −c. لذلك نحل ax+b=c و ax+b=−c كلًا على حدة.
ماذا يحدث إذا أصبح الطرف المعزول سالبًا؟
لا يوجد حل حقيقي، لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تساوي عددًا سالبًا.
لماذا تظهر نتيجة واحدة عندما c = 0؟
لأن |ax+b|=0 تعني أن ax+b نفسها تساوي صفرًا. عندها تتطابق الحالتان وتبقى قيمة واحدة لـ x.
هل يمكن حل |x+1| = |x−2| هنا؟
لا. هذه المعادلة تحتوي على مجموعتين من القيمة المطلقة. الحاسبة تدعم فقط الصيغة ذات المجموعة الواحدة p|ax+b|+q=r.
هل تظهر النتائج كأعداد عشرية أم كسور؟
يعرض runtime النتائج ككسور دقيقة عند وجود مقام غير 1، لذلك تظهر قيم مثل −8/3 دون تحويل تقريبي إلى عدد عشري.
ماذا يعني التحقق؟
يعني إعادة تعويض كل حل مرشح في المعادلة الأصلية للتأكد من أنه يحققها فعلًا.
هل ترسم هذه الحاسبة المعادلة؟
لا. هذه أداة حل جبري للصيغة المدعومة فقط، ولا تقدم رسمًا بيانيًا أو حلولًا مركبة أو حلولًا رمزية بمعاملات عامة.