حاسبة متباينات القيمة المطلقة مقدمة من Hesapstan لحل المتباينات المنظمة على الصورة p|ax+b|+q [<، ≤، >، ≥] r خطوة بخطوة. لا تدعم هذه الأداة أكثر من مجموعة قيمة مطلقة واحدة، ولا تعابير غير خطية مثل |x²−1|، ولا الرسم البياني، ولا اتحادات فترات أكثر تعقيدًا من الأنماط المدعومة.
تبدأ متباينة القيمة المطلقة بعزل |ax+b| في طرف واحد
تعمل الحاسبة على الصورة p|ax+b|+q [op] r. الخطوة الأولى هي عزل عبارة القيمة المطلقة للحصول على |ax+b| [op'] c حيث c=(r−q)/p. إذا كان p سالبًا، يتغير اتجاه المتباينة أثناء العزل.
القيمة المطلقة تقيس المسافة من الصفر. كتابة |x| < 5 تعني أن x يبعد أقل من 5 وحدات عن الصفر، أي يجب أن يقع بين −5 و5. هذا التفسير الهندسي يوضح لماذا تعطي متباينات القيمة المطلقة من نوع أصغر من فترة واحدة. أما |x| > 5 فتعني أن x يبعد أكثر من 5 وحدات عن الصفر، مما يجعله إما أصغر من −5 أو أكبر من 5.
التعابير مثل |x+1| + |x−2| < 5 أو |x²−1| < 3 ليست ضمن نطاق هذه الحاسبة. الـ runtime يحل فقط الصيغة المنظمة p|ax+b|+q [op] r.
متباينات الأصغر من تعطي فترة واحدة بشرطين معًا
عندما تكون |u| < c أو |u| ≤ c و c موجبة، يجب أن تقع u بين حدين: −c < u < c أو −c ≤ u ≤ c. لذلك تكون النتيجة عادة فترة واحدة متصلة.
المتباينة |x| < 5 تعني −5 < x < 5. ليست حلين منفصلين، بل كل القيم بين −5 و5. رمز الفترة هو (-5, 5).
متباينات الأكبر من تعطي اتحاد فترتين
عندما تكون |u| > c أو |u| ≥ c و c موجبة، يجب أن تكون u بعيدة عن الصفر من جهة اليسار أو اليمين. لذلك تنقسم النتيجة إلى u < −c أو u > c، وفي الحالة غير الصارمة إلى u ≤ −c أو u ≥ c.
في |x| ≥ 3 يكون الحل x ≤ −3 أو x ≥ 3، ويكتب برمز الفترة: (−∞, −3] ∪ [3, +∞).
القسمة على معامل سالب تغيّر اتجاه المتباينة
بعد تطبيق قاعدة القيمة المطلقة، تحل الحاسبة متباينات خطية تحتوي على ax+b. إذا كان a سالبًا، فإن القسمة عليه تعكس اتجاه المتباينة. هذا من أكثر الأخطاء شيوعًا عند الحل اليدوي.
- البداية: |-x+1| < 5
- تطبيق قاعدة AND: −5 < −x+1 < 5
- طرح 1 من جميع الأطراف: −6 < −x < 4
- القسمة على −1 (يتغير الاتجاه): 6 > x > −4، أي −4 < x < 6
- رمز الفترة: (−4, 6)
- صيغة بناء المجموعة: { x ∈ ℝ | −4 < x < 6 }
القسمة على عدد سالب أو الضرب فيه يعكس اتجاه المتباينة. هنا −6 < −x < 4 تصبح بعد القسمة على −1 هكذا: 6 > x > −4، وبالصيغة القياسية: −4 < x < 6.
عندما تكون c صفرًا أو سالبة تظهر حالات خاصة
القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا. لذلك إذا أصبحت c سالبة بعد العزل، فقد لا يوجد حل في حالات الأصغر من، بينما قد تصبح كل الأعداد الحقيقية حلًا في حالات الأكبر من. أما c=0 فلها سلوك خاص حسب نوع المتباينة.
|u| < 0 مستحيلة، و|u| ≤ 0 تعطي نقطة واحدة، و|u| > 0 تعطي كل الأعداد الحقيقية عدا نقطة الصفر للعبارة u، و|u| ≥ 0 تعطي جميع الأعداد الحقيقية.
تُقرأ النتيجة برمز الفترة وصيغة بناء المجموعة
يعرض الـ runtime النتيجة برمز الفترة مثل (-4, 6) أو (−∞, -2] ∪ [3, +∞). ويعرضها أيضًا بصيغة بناء المجموعة مثل { x ∈ ℝ | ... }.
القوس العادي يعني أن الطرف غير داخل في الحل. القوس المربع يعني أن الطرف داخل في الحل. لذلك تستخدم المتباينات الصارمة أقواسًا مفتوحة، وتستخدم ≤ أو ≥ القوس المربع عند الطرف المناسب.
الناتج تدوين رياضي لا رسم بياني
تعرض الحاسبة مجموعة الحلول برمز الفترة مثل (−4, 6) أو (−∞, −3] ∪ [3, +∞)، وبصيغة بناء المجموعة مثل { x ∈ ℝ | ... }. لا تُنتج الحاسبة رسمًا بيانيًا أو خط أعداد مرئيًا.
رمز الفترة هو التعبير الرمزي المكافئ لرسم خط الأعداد. الفترة (−4, 6) تقابل المنطقة المفتوحة بين −4 و6 على خط الأعداد. القوس المربع يعني أن الطرف داخل في الحل.
أسئلة شائعة
ما نوع متباينات القيمة المطلقة التي تحلها هذه الحاسبة؟
تحل المتباينات ذات مجموعة قيمة مطلقة واحدة على الصورة p|ax+b|+q [<، ≤، >، ≥] r، مع ضرورة أن يكون a و p غير مساويين للصفر.
لماذا تتحول < و≤ إلى شرطين معًا؟
لأن |u| < c تعني أن u تقع بين −c و c، أي يجب تحقق الحدين في الوقت نفسه.
لماذا تتحول > و≥ إلى أو؟
لأن |u| > c تعني أن u قد تكون أصغر من −c أو أكبر من c. يكفي تحقق أحد الجانبين.
لماذا يتغير اتجاه المتباينة؟
عند حل متباينة خطية، القسمة على عدد سالب تعكس اتجاه المقارنة. يحدث ذلك كثيرًا عندما يكون معامل x سالبًا.
ماذا تعني الأقواس في رمز الفترة؟
القوس العادي يستبعد الطرف، والقوس المربع يُدخل الطرف في الحل. الاختيار يعتمد على كون المتباينة صارمة أو غير صارمة.
ماذا يحدث إذا أصبحت c سالبة بعد العزل؟
يعتمد ذلك على الرمز. في حالات الأصغر من قد لا يوجد حل، وفي حالات الأكبر من قد تكون جميع الأعداد الحقيقية حلًا.
هل يمكن حل |x+1| + |x−2| < 5 هنا؟
لا. هذه المتباينة تحتوي على مجموعتين من القيمة المطلقة، بينما تدعم الحاسبة الصيغة p|ax+b|+q [op] r فقط.
هل ترسم الحاسبة المتباينة على خط الأعداد؟
لا. تعرض خطوات الحل ورمز الفترة وصيغة بناء المجموعة، لكنها لا تعرض رسمًا بيانيًا أو خط أعداد.