Hesapstan tarafından hazırlanan Mutlak Değer Eşitsizliği Hesaplama aracı, p|ax+b|+q [<, ≤, >, ≥] r biçimindeki yapılandırılmış tek mutlak değerli eşitsizlikleri adım adım çözer. Bu araç birden fazla mutlak değer grubu, |x²−1| gibi doğrusal olmayan iç ifadeler, grafik çizimi veya çok parçalı karmaşık aralık çözümleri için kullanılmaz.
Mutlak değer eşitsizliği önce |ax+b| op c biçimine getirilir
Bu hesaplayıcı p|ax+b|+q [op] r formunda çalışır. İlk adım mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakmaktır: |ax+b| [op'] c. Burada c=(r−q)/p olarak bulunur; p negatifse eşitsizlik yönü çevrilir.
Mutlak değer, bir sayının sıfırdan olan uzaklığını gösterir. |x| < 5 yazmak 'x'in sıfırdan 5 birimden az uzakta olması' demektir; yani x'in −5 ile 5 arasında kalması gerekir. Bu uzaklık yorumu, neden küçüktür türü mutlak değer eşitsizliklerinin bir AND aralığı verdiğini açıklar. Benzer şekilde |x| > 5 yazmak 'x'in sıfırdan 5 birimden fazla uzakta olması' demektir; bu da x'i −5'in altına ya da 5'in üstüne iter.
|x+1| + |x−2| < 5, |x²−1| < 3 veya grafikle çözüm gerektiren ifadeler bu aracın kapsamında değildir. Runtime yalnızca p|ax+b|+q [op] r yapısını çözer.
Küçüktür türü eşitsizlikler AND aralığı verir
|u| < c veya |u| ≤ c biçiminde c pozitifse çözüm iki sınır arasında kalır: −c < u < c veya −c ≤ u ≤ c. Bu yüzden sonuç genellikle tek bir aralık olarak yazılır.
|x| < 5 denklemi tek tek iki ayrı çözüm değil, −5 < x < 5 aralığını verir. Sıkı eşitsizlikte uçlar dahil değildir; bu nedenle aralık gösterimi (-5, 5) olur.
Büyüktür türü eşitsizlikler OR birleşimi verir
|u| > c veya |u| ≥ c biçiminde c pozitifse u ya sol tarafta çok küçük ya da sağ tarafta çok büyük olmalıdır. Bu nedenle çözüm iki parçalıdır: u < −c veya u > c; kapsayıcı durumda u ≤ −c veya u ≥ c.
|x| ≥ 3 için çözüm x ≤ −3 veya x ≥ 3 olur. Aralık gösterimi (−∞, −3] ∪ [3, +∞) biçimindedir.
Negatif katsayıda eşitsizlik yönü döner
İç ifade ax+b çözüldüğünde a negatifse her iki tarafı negatif sayıya bölmek gerekir. Negatif sayıya bölme eşitsizlik yönünü değiştirir. Bu, özellikle aralık uçlarının açık mı kapalı mı olacağını etkileyebileceği için runtime bu adımı ayrıca izler.
- Başlangıç: |-x+1| < 5
- AND kuralı uygula: −5 < −x+1 < 5
- Her taraftan 1 çıkar: −6 < −x < 4
- −1 ile böl (yön değişir): 6 > x > −4, yani −4 < x < 6
- Aralık gösterimi: (−4, 6)
- Küme gösterimi: { x ∈ ℝ | −4 < x < 6 }
Eşitsizliğin her iki yanını negatif bir sayıya böldüğümüzde ya da negatif bir sayıyla çarptığımızda eşitsizlik yönü tersine döner. Bu durumda −6 < −x < 4 ifadesi, −1 ile bölününce 6 > x > −4 olur; standart yazımıyla −4 < x < 6.
c değeri sıfır veya negatifse özel durumlar oluşur
Mutlak değer hiçbir zaman negatif olamaz. Bu yüzden |u| < c veya |u| ≤ c biçiminde c negatifse çözüm yoktur. Buna karşılık |u| > c veya |u| ≥ c biçiminde c negatifse çoğu durumda bütün reel sayılar çözüm olabilir.
|u| < 0 imkânsızdır; |u| ≤ 0 tek nokta verir; |u| > 0 bütün reel sayılar dışında u=0 noktasını bırakır; |u| ≥ 0 ise bütün reel sayılar çözüm olur.
Sonuç aralık ve küme gösterimiyle okunur
Hesaplayıcı sonucu aralık gösterimiyle, örneğin (-4, 6) veya (−∞, -2] ∪ [3, +∞) şeklinde verir. Ayrıca aynı çözümü küme kurucu gösterimle { x ∈ ℝ | ... } biçiminde de yazar.
( veya ) ucu dahil etmez; [ veya ] ucu çözüme dahil eder. < ve > sıkı eşitsizliklerde açık parantez, ≤ ve ≥ durumlarında uygun uçta köşeli parantez kullanılır.
Sonuç sayı doğrusu değil, gösterim biçimidir
Bu hesaplayıcı çözüm kümesini aralık gösterimiyle, örneğin (−4, 6) veya (−∞, −3] ∪ [3, +∞) biçiminde, ve küme kurucu gösterimle { x ∈ ℝ | ... } biçiminde verir. Sayı doğrusu üzerinde görsel bir çizim üretilmez.
Aralık gösterimi, sayı doğrusu çiziminin sözel karşılığıdır. (−4, 6) aralığı, sayı doğrusunda −4 ile 6 arasındaki açık bölgeye karşılık gelir. Köşeli parantez kullanıldığında o uç dahildir.
Sık Sorulan Sorular
Bu hesaplayıcı hangi mutlak değer eşitsizliklerini çözer?
p|ax+b|+q [<, ≤, >, ≥] r biçimindeki tek mutlak değer gruplu eşitsizlikleri çözer. a ve p sıfır olamaz.
Neden < ve ≤ durumunda AND kuralı kullanılır?
Çünkü |u| < c, u değerinin −c ile c arasında kalması demektir. Bu iki sınır aynı anda sağlanmalıdır.
Neden > ve ≥ durumunda OR kuralı kullanılır?
Çünkü |u| > c, u değerinin ya −c'den küçük ya da c'den büyük olması demektir. Bu iki bölgeden biri yeterlidir.
Operatör yönü neden değişir?
Lineer eşitsizliği çözerken negatif bir katsayıya bölme yapılırsa eşitsizlik yönü tersine döner. Bu özellikle a negatif olduğunda önemlidir.
Aralık gösteriminde parantez ve köşeli parantez ne demektir?
Normal parantez uç noktanın dahil olmadığını, köşeli parantez uç noktanın çözüme dahil olduğunu gösterir.
Sağ taraf negatif olursa ne olur?
İzole edilmiş biçimde c negatifse sonuç operatöre bağlıdır: < veya ≤ için çözüm yoktur; > veya ≥ için bütün reel sayılar gibi özel durumlar oluşabilir.
|x+1| + |x−2| < 5 çözülebilir mi?
Hayır. Bu ifade birden fazla mutlak değer grubu içerir. Bu hesaplayıcı yalnızca p|ax+b|+q [op] r formunu destekler.
Bu araç grafik çizer mi?
Hayır. Sonuç aralık ve küme gösterimiyle verilir; grafik çıktısı veya görsel sayı doğrusu bu runtime kapsamında değildir.