حاسبة الدوال الزائدية مقدمة من Hesapstan لحساب قيم sinh وcosh وtanh وcoth وsech وcsch والدوال الزائدية العكسية على نطاق الأعداد الحقيقية مع تنبيهات واضحة للمجال.
ماذا تفعل حاسبة الدوال الزائدية؟
تعمل الحاسبة في وضعين. في الوضع المباشر تدخل قيمة x واحدة فتحصل على قيم الدوال الزائدية الست معًا. وفي وضع الدالة العكسية تختار دالة واحدة، ثم تتحقق الحاسبة من أن قيمة x تقع ضمن المجال الحقيقي المسموح.
- الوضع المباشر يحسب sinh(x) وcosh(x) وtanh(x) وcoth(x) وsech(x) وcsch(x).
- الوضع العكسي يحسب asinh(x) أو acosh(x) أو atanh(x) أو acoth(x) أو asech(x) أو acsch(x).
- النتائج تعرض كقيم عشرية تقريبية.
- عند x=0 تظهر coth وcsch كقيم غير معرّفة بدل عرض Infinity أو NaN.
- عند اختيار دالة عكسية، تظهر شروط المجال بوضوح ولا يتم تجاوزها بصمت.
هذه الحاسبة مخصصة للحساب العددي على الأعداد الحقيقية. لا تعرض فروعًا مركبة ولا صيغًا رمزية طويلة باعتبارها نتائج exact.
ما معنى الدوال الزائدية؟
الدوال الزائدية تشبه الدوال المثلثية في الأسماء، لكنها ليست الدوال نفسها. فهي ترتبط بالدوال الأسية وبالهندسة الزائدية، لا بدائرة الوحدة كما في sin وcos العاديتين.
التعريفات الأساسية هي: sinh(x)=(e^x−e^(−x))/2، وcosh(x)=(e^x+e^(−x))/2، وtanh(x)=sinh(x)/cosh(x). أما coth وsech وcsch فهي مرتبطة بالمقلوب: coth(x)=1/tanh(x)، وsech(x)=1/cosh(x)، وcsch(x)=1/sinh(x).
عند x=0 تكون sinh(0)=0 وtanh(0)=0. لذلك فإن csch(0) وcoth(0) تتضمنان قسمة على صفر، ولهذا لا تكونان معرفتين في الأعداد الحقيقية.
كيف أستخدم الوضع المباشر؟
استخدم الوضع المباشر عندما تريد معرفة قيم جميع الدوال الزائدية الست عند نفس قيمة x. هذا مفيد للمقارنة السريعة أو لإنشاء جدول قيم صغير أثناء الدراسة.
- أدخل قيمة x كعدد حقيقي.
- اقرأ قيم sinh وcosh وtanh مباشرة.
- اقرأ coth وsech وcsch بوصفها دوال مرتبطة بالمقلوب.
- إذا كانت x=0، فتوقع أن تظهر coth وcsch كقيم غير معرّفة.
مثال: عند x=1 يمكن أن ترى في النتيجة العلاقة بين tanh وcoth، لأن coth(1)=1/tanh(1)، وكذلك العلاقة بين cosh وsech.
مجالات الدوال الزائدية العكسية
في الوضع العكسي، أهم نقطة هي المجال. ليست كل الدوال العكسية تقبل أي قيمة حقيقية. لذلك تتحقق الحاسبة من المجال قبل عرض النتيجة.
- asinh(x): معرفة لكل عدد حقيقي x.
- acosh(x): معرفة حقيقيًا عندما x≥1 فقط.
- atanh(x): معرفة عندما −1<x<1 فقط.
- acoth(x): معرفة عندما |x|>1 فقط.
- asech(x): معرفة عندما 0<x≤1 فقط.
- acsch(x): معرفة عندما x≠0.
مثلًا acosh(0) وatanh(1) لا تعطيان قيمة حقيقية في هذا النطاق. لذلك لا تعرض الحاسبة نتيجة عشرية عادية لهما.
أمثلة عملية
مثال 1: إذا أدخلت x=0 في الوضع المباشر، فستظهر sinh(0)=0 وcosh(0)=1 وtanh(0)=0 وsech(0)=1، بينما تظهر coth(0) وcsch(0) كقيم غير معرّفة.
مثال 2: في الوضع العكسي، إذا اخترت acosh وأدخلت x=2، فالمدخل صالح لأن acosh تشترط x≥1، فتظهر قيمة حقيقية تقريبية.
مثال 3: إذا اخترت asech وأدخلت x=2، فلن تقبل الحاسبة الإدخال لأن asech على الأعداد الحقيقية تشترط 0<x≤1.
بعض القيم التي لا تقبلها الحاسبة قد يكون لها معنى في التحليل المركب. لكن هذه الصفحة مخصصة للدوال الزائدية ذات القيم الحقيقية، لا للمدخلات أو النتائج المركبة.
أين تستخدم الدوال الزائدية؟
تظهر الدوال الزائدية في المعادلات التفاضلية، وبعض نماذج الهندسة والفيزياء، ومنحنى السلسلة المعلقة، وبعض التحويلات الرياضية. لكنها هنا تُستخدم بوصفها دوال عددية تُحسب عند قيمة محددة.
لذلك إذا كنت تريد قيمة دالة، فهذه الحاسبة مناسبة. أما إذا كنت تريد إثبات هوية أو حل معادلة رمزية أو التعامل مع أعداد مركبة، فهذه مهمة أوسع من نطاق هذه الصفحة.
أخطاء شائعة
- الخلط بين sinh وsin. الدالة sinh ليست الجيب المثلثي العادي.
- توقع قيمة عددية عادية لـ coth(0) أو csch(0).
- نسيان شروط المجال عند حساب acosh أو atanh أو asech وغيرها.
- اعتبار القيمة العشرية التقريبية نتيجة رمزية exact.
- طلب نتائج مركبة من حاسبة مخصصة للنطاق الحقيقي فقط.
النتيجة العشرية مفيدة للفحص السريع، لكنها لا تكفي وحدها لإثبات هوية رياضية أو لمعالجة مسألة تتطلب تحليلًا رمزيًا أو مركبًا.
أسئلة شائعة
هل sinh هي نفسها sin؟
لا. sinh هي الجيب الزائدي وتُعرّف باستخدام الدوال الأسية، بينما sin هي دالة مثلثية مرتبطة بالدائرة.
لماذا coth(0) وcsch(0) غير معرفتين؟
لأن tanh(0)=0 وsinh(0)=0، وcoth وcsch تتضمنان مقلوب هذه القيم، أي قسمة على صفر.
لماذا تشترط acosh أن تكون x≥1؟
لأن cosh(x) على الأعداد الحقيقية لا تنزل عن 1. لذلك لا يمكن أن يكون للمعكوس الحقيقي acosh مدخل أصغر من 1.
هل تدعم الحاسبة القيم المركبة؟
لا. الحاسبة مخصصة للنطاق الحقيقي فقط، وتعرض خطأ عندما يكون المدخل خارج المجال الحقيقي للدالة المختارة.
هل النتائج دقيقة تمامًا؟
النتائج تعرض كقيم عشرية تقريبية. وهي مفيدة للحساب العددي، لكنها ليست صيغة رمزية exact.