ماذا تحسب هذه الحاسبة؟

تحسب حاسبة التباديل عدد الطرق الممكنة لاختيار r عنصراً من n عنصراً مختلفاً ثم ترتيبها، عندما يكون ترتيب العناصر مهماً. في التباديل، AB و BA يعدّان نتيجتين مختلفتين.

هذه الحاسبة مخصصة للتباديل العادية دون تكرار. أي أن العنصر المختار لا يُستخدم أكثر من مرة في الترتيب نفسه.

ما معنى التباديل؟

التباديل هي عدد الترتيبات الممكنة لعناصر مختلفة عندما يكون اختلاف الترتيب مهماً. تكتب غالباً بالصيغة P(n,r) أو nPr.

مثلاً، إذا أردت ترتيب عنصرين من الحروف A و B و C، فالترتيبات الممكنة هي AB و AC و BA و BC و CA و CB. العدد 6 لأن AB و BA ترتيبان مختلفان.

ماذا يعني n و r؟

n هو عدد العناصر الكلي المتاح، و r هو عدد العناصر التي نريد اختيارها وترتيبها.

• n: عدد العناصر الكلي.
• r: عدد العناصر التي سيتم ترتيبها.
• لا يجوز أن يكون r أكبر من n.
• هذه الحاسبة تقبل الأعداد الصحيحة فقط.

مثلاً، إذا كان لدينا 8 طلاب ونريد اختيار 3 منهم لمناصب مختلفة مثل الرئيس والنائب والكاتب، فإن n = 8 و r = 3. لأن المناصب مختلفة والترتيب مهم، نستخدم التباديل لا التوافيق.

صيغة التباديل

صيغة التباديل العادية دون تكرار هي P(n,r) = n! / (n − r)!. ويمكن حسابها أيضاً بضرب n × (n − 1) × ... × (n − r + 1).

علامة التعجب تعني المضروب. مثلاً 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

مثال حسابي: P(8,3)

إذا أردنا ترتيب 3 عناصر مختارة من 8 عناصر مختلفة، يكون الحساب هو P(8,3).

• الصيغة: P(n,r) = n! / (n − r)!
• التعويض: P(8,3) = 8! / (8 − 3)!
• الضرب المختصر: 8 × 7 × 6
• النتيجة: 336

التفسير: يمكن ترتيب 3 عناصر من أصل 8 عناصر مختلفة بعدد 336 طريقة عندما يكون الترتيب مهماً.

الفرق بين التباديل والتوافيق

الفرق الأساسي هو الترتيب. في التباديل يكون الترتيب مهماً، أما في التوافيق فلا يكون الترتيب مهماً.

• في التباديل: AB و BA نتيجتان مختلفتان.
• في التوافيق: AB و BA يمثلان الاختيار نفسه.
• نستخدم التباديل عند وجود ترتيب أو مناصب أو تسلسل.
• نستخدم التوافيق عندما نريد اختيار مجموعة فقط دون ترتيب.

عند نفس قيم n و r تكون نتيجة التباديل غالباً أكبر من نتيجة التوافيق، لأن كل اختيار يمكن ترتيبه بعدة طرق.

كيف تُقرأ أمثلة التباديل؟

قد تعرض الحاسبة أمثلة على التباديل باستخدام رموز تلقائية مثل A و B و C و D. هذه المعاينة تساعد على فهم معنى النتيجة.

عند n = 4 و r = 2 يمكن أن تظهر أمثلة مثل AB و AC و AD و BA و BC و BD و CA و CB و CD و DA و DB و DC. يظهر AB و BA معاً لأن الترتيب مختلف.

المدخلات المقبولة والحدود

تقبل هذه الحاسبة أعداداً صحيحة فقط. يجب أن يكون n بين 0 و 200، ويجب أن يكون r بين 0 و n.

• P(0,0) = 1.
• P(n,0) = 1 لأن هناك طريقة واحدة لترتيب لا شيء.
• P(n,n) = n! لأن كل العناصر يتم ترتيبها.
• القيم الكسرية أو السالبة أو r > n لا تعطي نتيجة عادية.

أخطاء شائعة

• استخدام التوافيق لمسألة يكون فيها الترتيب مهماً.
• استخدام التباديل لمسألة لا يكون فيها الترتيب مهماً.
• إدخال r أكبر من n.
• استخدام قيم كسرية لـ n أو r.
• توقع حساب التباديل مع التكرار أو التباديل الدائرية.
• اعتقاد أن معاينة الأمثلة تعرض دائماً كل الترتيبات.
• استخدام الحاسبة كأنها مولد كلمات مرور.

حدود هذه الحاسبة

هذه الحاسبة مخصصة للتباديل العادية دون تكرار. لا تحسب التباديل مع التكرار، ولا التباديل الدائرية، ولا تباديل العناصر المكررة، ولا مسائل الاحتمال، ولا أدوات اليانصيب، وليست مولداً لكلمات المرور.

النتيجة هي نتيجة الصيغة الرياضية للقيم الصحيحة المدعومة. أما معاينة الأمثلة فهي محدودة عمداً بحد أقصى 300 عنصر ولا تهدف إلى عرض كل الترتيبات بلا حدود.