حاسبة قوى العدد التخيلي i، مقدمة من Hesapstan، تختزل أي أس صحيح للوحدة التخيلية i وفق دورة من أربع قيم وتشرح لماذا تكون النتيجة 1 أو i أو -1 أو -i.
قوى i تتكرر في دورة من أربع قيم
الوحدة التخيلية i تُعرَّف بأن i² = -1. لذلك لا تعطي قوى i الصحيحة قيمًا جديدة بلا نهاية، بل تدور بين أربع قيم فقط: 1، i، -1، و-i.
الدورة الأساسية هي: i⁰ = 1، وi¹ = i، وi² = -1، وi³ = -i، ثم i⁴ = 1. وعندما تعود i⁴ إلى 1 تبدأ الدورة نفسها من جديد.
باقي قسمة الأس على 4 هو الذي يحدد النتيجة: الباقي 0 يعطي 1، والباقي 1 يعطي i، والباقي 2 يعطي -1، والباقي 3 يعطي -i.
الأسس الكبيرة تُختزل باستخدام باقي القسمة على 4
لحساب i¹⁰⁰ مثلًا، لا نحتاج إلى ضرب i مئة مرة. العدد 100 يقبل القسمة على 4 دون باقٍ، لذلك تكون i¹⁰⁰ = i⁰ = 1.
أما في i²⁷، فباقي قسمة 27 على 4 هو 3. لذلك تأخذ i²⁷ القيمة نفسها التي تأخذها i³، أي -i. الحاسبة تعرض هذا الاختزال بوضوح.
الأسس السالبة تتبع الدورة نفسها أيضًا
الأس السالب يعني المقلوب. مثلًا i⁻¹ = 1/i، وهذه القيمة تساوي -i لأن i × (-i) = 1.
تتعامل الحاسبة مع الأسس الصحيحة السالبة عبر الدورة نفسها. مثلًا i⁻¹ = -i، وi⁻² = -1، وi⁻³ = i، وi⁻⁴ = 1.
هذه الأداة تحسب قوى i ذات الأسس الصحيحة فقط. لا تنفذ جمع الأعداد المركبة أو قسمتها أو ضربها أو رفع عدد مركب عام إلى قوة.
الأسس العشرية أو الكسرية غير مدعومة
هذه الحاسبة مصممة للأسس الصحيحة فقط. الأس 0 والأسس الصحيحة الموجبة والسالبة مدعومة، أما أس مثل 1.5 أو 2/3 فهو خارج نطاق هذه الأداة.
قوى الأعداد المركبة بأسس غير صحيحة قد تدخل في موضوعات متقدمة وقد لا تبقى ضمن دورة القيم الأربع البسيطة. لذلك يظل وعد الصفحة محصورًا في قوى i ذات الأسس الصحيحة.
النتيجة دائمًا واحدة من 1 أو i أو -1 أو -i
في قوى i ذات الأسس الصحيحة لا توجد إلا أربع نتائج ممكنة. مهما كان الأس كبيرًا أو سالبًا، فإن اختزاله حسب باقي القسمة على 4 يحدد واحدة من هذه القيم الأربع.
لهذا السبب تُحل مسائل قوى i بسرعة في الجبر والأعداد المركبة. الخطوة الأساسية هي إيجاد باقي قسمة الأس على 4 وقراءة القيمة المناسبة من الدورة.
الأمثلة توضح طريقة استخدام الدورة
Giriş / Input: n = 100 — Sonuç / Output: 1 — 100 mod 4 = 0، لذلك i¹⁰⁰ = i⁰ = 1.
Giriş / Input: n = 27 — Sonuç / Output: -i — باقي قسمة 27 على 4 هو 3، لذلك النتيجة هي i³ = -i.
Giriş / Input: n = -1 — Sonuç / Output: -i — i⁻¹ = 1/i، وهذه القيمة تساوي -i.
أسئلة شائعة
ما الوحدة التخيلية i؟
الوحدة التخيلية i هي عدد يُعرَّف بأن مربعه يساوي -1، أي i² = -1. وهي من المفاهيم الأساسية في الأعداد المركبة.
لماذا تتكرر قوى i كل 4 خطوات؟
لأن i⁰ = 1، وi¹ = i، وi² = -1، وi³ = -i، ثم i⁴ = 1. بعد ذلك تتكرر الدورة نفسها.
كيف أحسب i أس 100؟
نقسم 100 على 4 وننظر إلى الباقي. الباقي 0، لذلك i¹⁰⁰ = 1.
ما قيمة i أس -1؟
i⁻¹ = 1/i، وهذه القيمة تساوي -i لأن i مضروبة في -i تساوي 1.
ما قيمة i²؟
قيمة i² هي -1 حسب تعريف الوحدة التخيلية i.
هل يمكن حساب i لأس عشري؟
لا. هذه الحاسبة تدعم الأسس الصحيحة فقط، أما الأسس العشرية أو الكسرية فهي خارج نطاقها.
هل تنفذ الحاسبة عمليات عامة على الأعداد المركبة؟
لا. الحاسبة مخصصة لقوى i ذات الأسس الصحيحة فقط، ولا تنفذ عمليات جمع أو قسمة أو ضرب عامة على الأعداد المركبة.