هذه الأداة مقدمة من Hesapstan لقسمة كثير حدود على مقسوم عليه من الشكل x−r وربط الباقي باختبار الجذر.
ماذا تفعل حاسبة القسمة التركيبية؟
تقسم هذه الحاسبة كثير حدود على مقسوم عليه أحادي وخطي من الشكل x−r، ثم تعرض جدول القسمة التركيبية كاملًا.
تعرض النتيجة خارج القسمة والباقي، وتضيف ملاحظة توضح هل r جذر لكثير الحدود أم لا.
إذا كان الباقي صفرًا، فإن P(r)=0، وبالتالي يكون r جذرًا. هذه هي الصلة مع نظرية الباقي ونظرية العامل.
متى تكون القسمة التركيبية مناسبة؟
القسمة التركيبية هي اختصار للقسمة الطويلة عندما يكون المقسوم عليه من الشكل x−r.
- في x−3 نستخدم r=3.
- في x+2 نستخدم r=−2.
- يجب أن يكون المقسوم عليه خطيًا وأحادي المعامل.
- المقسوم عليه مثل 2x−3 أو x^2+1 يحتاج إلى طريقة أخرى.
العبارة x+2 تعني x−(−2)، لذلك قيمة r هي −2 لا +2.
كيف تعمل القسمة التركيبية؟
تعتمد القسمة التركيبية على معاملات كثير الحدود. ننزل أول معامل، ثم نضرب في r ونجمع مع المعامل التالي.
- اكتب المعاملات بترتيب الدرجات من الأكبر إلى الأصغر.
- أنزل المعامل الأول.
- اضرب القيمة المنزلة في r.
- اجمع الناتج مع المعامل التالي.
- كرر العملية حتى آخر معامل.
آخر قيمة في الجدول هي الباقي، والقيم السابقة هي معاملات خارج القسمة.
مثال عملي
لنقسم P(x)=x^3−6x^2+11x−6 على x−2. هنا r=2.
- صف المعاملات هو 1، −6، 11، −6.
- ننزل 1.
- 1×2=2، ثم نجمعه مع −6 فنحصل على −4.
- −4×2=−8، ثم نجمعه مع 11 فنحصل على 3.
- 3×2=6، ثم نجمعه مع −6 فيكون الباقي 0.
خارج القسمة هو x^2−4x+3، والباقي الصفري يؤكد أن x=2 جذر.
كيف نفسر الباقي؟
باقي القسمة التركيبية يساوي P(r). إذا كان الباقي صفرًا، يكون r جذرًا. وإذا لم يكن صفرًا، فليس r جذرًا.
الباقي غير الصفري لا يعني أن القسمة غير صحيحة. يعني فقط أن x−r ليس عاملًا من عوامل كثير الحدود.
عندما يكون الباقي صفرًا، يمكن كتابة P(x) على صورة (x−r) مضروبًا في خارج القسمة.
لماذا تهم الحدود الناقصة؟
إذا غابت درجة من كثير الحدود، يجب وضع معامل صفر لها في صف المعاملات.
مثال: x^3+2x−5 لا يحتوي على حد x^2، لذلك تكون المعاملات 1، 0، 2، −5.
إذا لم تضع صفرًا للدرجة الناقصة، فسيعمل الجدول على كثير حدود مختلف.
الفرق عن القسمة الطويلة
القسمة التركيبية أسرع لكنها أضيق نطاقًا. القسمة الطويلة لكثيرات الحدود هي الطريقة العامة لأي مقسوم عليه من الدرجة 1 أو أكثر.
- استخدم القسمة التركيبية مع x−r.
- استخدم القسمة الطويلة مع x^2+1 أو 2x−3 أو أي مقسوم عليه أعلى درجة.
- استخدم حاسبة الجذور النسبية إذا أردت اختبار مرشحات كثيرة.
حدود الحاسبة وأخطاء شائعة
هذه الحاسبة مخصصة للمقسوم عليه من الشكل x−r فقط، ويجب أن تكون درجة كثير الحدود المقسوم 1 أو أكثر.
- لا تدعم المقسوم عليه غير الأحادي مثل ax−r.
- لا تدعم المقسوم عليه التربيعي أو الأعلى.
- تختبر قيمة r واحدة في كل مرة.
- لا تعرض جميع الجذور الممكنة.
- تحتاج إلى إدخال صحيح للحدود الناقصة.
هذه الحاسبة تختبر قيمة r التي أدخلتها فقط. ليست خوارزمية كاملة لإيجاد كل الجذور.
أسئلة شائعة
ما المقسوم عليه المناسب للقسمة التركيبية؟
القسمة التركيبية الكلاسيكية تستخدم مقسومًا عليه من الشكل x−r.
إذا كان المقسوم عليه x+2 فما قيمة r؟
لأن x+2 تساوي x−(−2)، تكون قيمة r هي −2.
ماذا يعني أن يكون الباقي صفرًا؟
يعني أن r جذر لكثير الحدود وأن x−r عامل من عوامله.
لماذا نضع صفرًا للحدود الناقصة؟
حتى تبقى معاملات الجدول مرتبطة بدرجات x الصحيحة.
هل تجد هذه الحاسبة كل الجذور؟
لا. تختبر قيمة r واحدة فقط. لاختبار مرشحات متعددة استخدم حاسبة الجذور النسبية.