هذه الأداة مقدمة من Hesapstan لتطبيق نظرية الجذور النسبية على كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة واختبار المرشحات.
ماذا تفعل حاسبة الجذور النسبية؟
تولد هذه الحاسبة مرشحات الجذور النسبية لكثير حدود بمعاملات صحيحة، ثم تختبر كل مرشح باستخدام القسمة التركيبية.
تعرض الحاسبة المرشحات، باقي القسمة لكل مرشح، الجذور النسبية المؤكدة، وكثير الحدود المختزل بعد فصل الجذور المؤكدة.
الجذور النسبية المؤكدة ليست بالضرورة جميع جذور كثير الحدود. قد يبقى في كثير الحدود المختزل جذور غير نسبية أو مركبة.
ما هي نظرية الجذور النسبية؟
تقول نظرية الجذور النسبية إن أي جذر نسبي لكثير حدود بمعاملات صحيحة يجب أن يكون من الشكل ±p/q.
- p يأتي من قواسم الحد الثابت.
- q يأتي من قواسم المعامل الرئيسي.
- المرشحات تكتب على صورة ±p/q.
- المرشح لا يصبح جذرًا إلا بعد الاختبار.
النظرية لا تحل الجذور مباشرة. هي تقلل قائمة القيم التي يستحق اختبارها.
لماذا تشترط الحاسبة معاملات صحيحة؟
الصيغة القياسية للنظرية تعمل مع كثيرات حدود ذات معاملات صحيحة. إذا أدخل المستخدم معاملات عشرية، فسيحتاج الأمر إلى تحويل أو تكبير غير مضمون الدلالة.
لذلك ترفض الحاسبة المعاملات غير الصحيحة برسالة واضحة بدل تحويلها بصمت.
لا تحول الحاسبة 0.5x^2+1 تلقائيًا إلى صيغة صحيحة المعاملات، لأن ذلك قد يجعل المستخدم يظن أن النظرية طُبقت مباشرة.
كيف تختبر الحاسبة المرشحات؟
كل مرشح r يُختبر بالقسمة التركيبية. إذا كان الباقي صفرًا، يكون r جذرًا مؤكدًا.
- إذا كان x=0 جذرًا، تفصله الحاسبة أولًا.
- تولد المرشحات من كثير الحدود المختزل لا من الصيغة القديمة فقط.
- يُختبر كل مرشح بالقسمة التركيبية.
- عند العثور على جذر، يصبح خارج القسمة هو كثير الحدود المختزل الجديد.
بهذه الطريقة يمكن اكتشاف الجذور النسبية المكررة أيضًا.
مثال عملي
لنفترض أن f(x)=x^3−6x^2+11x−6. الحد الثابت هو −6، والمعامل الرئيسي هو 1.
المرشحات هي ±1 و±2 و±3 و±6. عند اختبارها، تتأكد الجذور 1 و2 و3.
إذا كان للحد الثابت أو المعامل الرئيسي قواسم كثيرة، فقد تصبح القائمة طويلة. لذلك يحد runtime العرض ليبقى مقروءًا.
ماذا إذا كان الحد الثابت صفرًا؟
إذا كان الحد الثابت صفرًا، فقد يكون x=0 جذرًا. تفصل الحاسبة جذور الصفر أولًا، حتى لو كانت مكررة.
بعد ذلك تولد المرشحات من كثير الحدود المختزل الحقيقي، وهذا يمنع فقدان المرشحات بعد حالة الحد الثابت الصفري.
العلاقة مع قاعدة ديكارت للإشارات
قاعدة ديكارت للإشارات تساعد في تقدير عدد الجذور الموجبة والسالبة الممكنة قبل اختبار المرشحات.
- قاعدة ديكارت تعطي حدودًا للعدد.
- نظرية الجذور النسبية تعطي مرشحات وتختبرها.
- استخدامهما معًا يجعل البحث عن الجذور أكثر تنظيمًا.
حدود الحاسبة وأخطاء شائعة
هذه الحاسبة مخصصة لكثيرات الحدود في متغير واحد وبمعاملات صحيحة، مع حدود على الدرجة وحجم المعاملات للحفاظ على جدول واضح.
- لا تجد الجذور غير النسبية.
- لا تحل الجذور المركبة.
- ترفض المعاملات العشرية.
- عدم وجود جذر نسبي لا يعني عدم وجود جذور.
- إذا بقي كثير حدود غير ثابت، فقد تحتاج إلى طريقة أخرى.
وجود قيمة في جدول المرشحات لا يعني أنها جذر. تصبح جذرًا فقط إذا كان باقي القسمة صفرًا.
أسئلة شائعة
هل كل مرشح نسبي هو جذر؟
لا. يصبح المرشح جذرًا فقط إذا أعطت القسمة التركيبية باقيًا يساوي صفرًا.
لماذا ترفض الحاسبة المعاملات العشرية؟
لأن نظرية الجذور النسبية بصيغتها القياسية تخص كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة.
إذا لم توجد جذور نسبية، هل لا توجد جذور؟
لا. قد توجد جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
ماذا يحدث إذا كان الحد الثابت صفرًا؟
تفصل الحاسبة x=0 كجذر أولًا، ثم تولد المرشحات من كثير الحدود المختزل.
هل تستخدم الحاسبة القسمة التركيبية؟
نعم. تستخدم القسمة التركيبية لاختبار كل مرشح وتحديث كثير الحدود المختزل.