ماذا تفعل حاسبة قاعدة ديكارت للإشارات؟

تعد هذه الحاسبة تغيرات الإشارة في f(x) وf(−x)، ثم تعرض الأعداد الممكنة للجذور الحقيقية الموجبة والسالبة.

لا تحسب الحاسبة قيم الجذور نفسها. هي أداة لتضييق الاحتمالات قبل استخدام اختبار الجذور النسبية أو حاسبة حل المعادلات.

كيف نحسب تغيرات الإشارة؟

يحدث تغير الإشارة عندما ينتقل حد غير صفري إلى حد غير صفري يليه بإشارة مختلفة.

• التسلسل +، −، + يحتوي على تغيرين.
• التسلسل +، +، − يحتوي على تغير واحد.
• الحدود ذات المعامل صفر لا تُعد إشارات.
• نقرأ الحدود بترتيب الدرجات من الأكبر إلى الأصغر.

لماذا نستخدم f(−x)؟

نستخدم f(−x) لتطبيق قاعدة ديكارت على الجذور الحقيقية السالبة.

عند تكوين f(−x)، تتغير إشارة الحدود ذات الدرجات الفردية، بينما تبقى إشارة الحدود ذات الدرجات الزوجية كما هي.

كيف نقرأ الأعداد الممكنة؟

تعطي القاعدة أعدادًا ممكنة، لا عددًا نهائيًا مؤكدًا. إذا كان في f(x) ثلاث تغيرات إشارة، فعدد الجذور الموجبة الممكن هو 3 أو 1.

وإذا كان في f(−x) تغيران، فعدد الجذور السالبة الممكن هو 2 أو 0.

تعرض الحاسبة أيضًا احتمالًا مشتقًا للجذور غير الحقيقية بحسب درجة كثير الحدود والحد الأقصى للجذور الحقيقية الممكنة.

مثال على العد

لنفترض أن f(x)=x^4−3x^3+2x^2−x+5. تسلسل الإشارات هو +، −، +، −، +.

1. من + إلى −: التغير الأول.
2. من − إلى +: التغير الثاني.
3. من + إلى −: التغير الثالث.
4. من − إلى +: التغير الرابع.

إذن عدد الجذور الحقيقية الموجبة الممكن هو 4 أو 2 أو 0. لمعرفة القيم الفعلية للجذور نحتاج إلى طريقة أخرى.

استخدامها مع نظرية الجذور النسبية

تفيد قاعدة ديكارت قبل اختبار الجذور النسبية لأنها تحدد توقعًا أوليًا لعدد الجذور الموجبة والسالبة.

• إذا كان عدد الجذور الموجبة الممكن 0، فلا نتوقع جذورًا نسبية موجبة.
• إذا كان عدد الجذور السالبة الممكن صغيرًا، يمكن تفسير المرشحات السالبة ضمن هذا الحد.
• القاعدة لا تولد المرشحات، بل تحدد أعدادًا ممكنة فقط.

لذلك ترتبط هذه الحاسبة طبيعيًا بحاسبة الجذور النسبية.

ما الذي لا تحله هذه الحاسبة؟

لا تعطي هذه الحاسبة قيم الجذور. لا تقول إن الجذر هو 2 أو −1 أو عدد مركب محدد.

• لاختبار جذور نسبية استخدم حاسبة الجذور النسبية.
• للمعادلات التربيعية استخدم صيغة المعادلة التربيعية.
• للمعادلات التكعيبية استخدم حاسبة المعادلة التكعيبية.
• كثير الحدود الصفري مرفوض لأن القاعدة غير معرفة له.

أخطاء شائعة

• عد الحدود الصفرية كتغيرات إشارة.
• نسيان تغيير إشارة الحدود ذات الدرجة الفردية في f(−x).
• اعتبار العدد الممكن عددًا مؤكدًا.
• الخلط بين الجذور السالبة والجذور غير الحقيقية.
• استخدام القاعدة كأنها تحل الجذور كلها.