Descartes İşaret Kuralı hesaplama aracı, Hesapstan tarafından bir polinomun olası pozitif ve negatif gerçek kök sayılarını işaret değişimlerinden bulmak için hazırlanmıştır.
Descartes İşaret Kuralı hesaplayıcı ne yapar?
Bu hesaplayıcı, f(x) ve f(−x) içindeki ardışık işaret değişimlerini sayarak polinomun olası pozitif ve negatif gerçek kök sayılarını verir.
Araç kökleri doğrudan çözmez. Bunun yerine kök sayısı için olası değerleri listeler. Bu nedenle rasyonel kökler veya ikinci/üçüncü derece çözücülerle birlikte kullanıldığında daha anlamlıdır.
f(x) içindeki işaret değişimi sayısı pozitif gerçek kök sayısının üst sınırını verir; olası sayı bu değerden 2'şer azalarak devam eder.
İşaret değişimi nasıl sayılır?
İşaret değişimi, sıfır olmayan ardışık terimlerin işaretinin artıdan eksiye veya eksiden artıya dönmesidir.
- +, −, + dizisinde iki işaret değişimi vardır.
- +, +, − dizisinde bir işaret değişimi vardır.
- Sıfır katsayılı eksik terimler işaret olarak sayılmaz.
- Sayım terimler azalan derece sırasındayken yapılır.
Eksik bir terim, örneğin x^2 teriminin olmaması, kendi başına artı veya eksi işaret oluşturmaz. Hesaplayıcı bu boşlukları atlar.
f(−x) neden kullanılır?
Negatif gerçek köklerin olası sayısı için aynı kural f(−x) polinomuna uygulanır.
f(−x) yazarken tek dereceli terimlerin işareti değişir, çift dereceli terimlerin işareti aynı kalır. Hesaplayıcı bunu otomatik yapar ve f(−x) işaretlerini ayrı gösterir.
f(−x), polinomun köklerini doğrudan değiştirmek için değil, negatif kök sayısına ilişkin işaret desenini görmek için kullanılır.
Olası kök sayıları nasıl okunur?
Descartes kuralı kesin kök sayısını değil, olası sayıları verir. Örneğin f(x) için 3 işaret değişimi varsa olası pozitif gerçek kök sayıları 3 veya 1 olabilir.
Benzer şekilde f(−x) için 2 işaret değişimi varsa olası negatif gerçek kök sayıları 2 veya 0 olabilir.
Hesaplayıcı ayrıca dereceye göre gerçek olmayan kök çiftleri için türetilmiş bir olasılık satırı gösterir; bu satır kesin kök konumu değil, sayım sınırlamasıdır.
Örnek: işaret değişimi sayımı
f(x)=x^4−3x^3+2x^2−x+5 için işaret dizisi +,−,+,−,+ şeklindedir.
- + işaretinden − işaretine geçiş: 1
- − işaretinden + işaretine geçiş: 2
- + işaretinden − işaretine geçiş: 3
- − işaretinden + işaretine geçiş: 4
Bu durumda pozitif gerçek kök sayısı 4, 2 veya 0 olabilir. Hangisinin gerçekten gerçekleştiğini bulmak için kök testi veya sayısal/cebirsel çözüm gerekir.
Rasyonel kökler teoremiyle birlikte kullanımı
Descartes İşaret Kuralı, rasyonel kök adaylarını test etmeden önce arama yönünü daraltabilir.
- Pozitif kök olasılığı 0 ise pozitif rasyonel adayları beklememek gerekir.
- Negatif kök olasılığı düşükse negatif adaylar ayrı dikkatle test edilir.
- Kural adayları bulmaz; yalnızca pozitif/negatif kök sayısı için sınır verir.
Bu yüzden `rasyonel-kokler` hesaplayıcısı bu sayfanın doğal tamamlayıcısıdır.
Bu hesaplayıcı neyi çözmez?
Bu araç polinomun kök değerlerini hesaplamaz. Bir kökün 2, −1 veya karmaşık bir sayı olduğunu doğrudan söylemez.
- Kök değerlerini bulmak için rasyonel kökler, ikinci derece formülü veya üçüncü derece denklem çözücü gerekebilir.
- Çok katlı köklerin yerini belirlemez.
- Grafik veya yaklaşık kök arama yapmaz.
- Sıfır polinomu için kural tanımsızdır ve bu giriş reddedilir.
Descartes kuralını 'tam olarak şu kadar kök var' şeklinde okumayın. Kural yalnızca olası sayıları verir.
Sık yapılan hatalar
- Sıfır katsayıları işaret gibi saymak.
- f(−x) oluştururken tek dereceli terimlerin işaretini değiştirmemek.
- Olası pozitif kök sayısını kesin kök sayısı sanmak.
- Karmaşık kökleri gerçek kök sayımıyla karıştırmak.
- Descartes kuralını tek başına kök bulma yöntemi gibi kullanmak.
Sık Sorulan Sorular
Descartes İşaret Kuralı kökleri bulur mu?
Hayır. Kural kök değerlerini değil, olası pozitif ve negatif gerçek kök sayılarını verir.
Sıfır katsayılı terimler işaret değişimine dahil mi?
Hayır. Sıfır katsayılı veya eksik terimler işaret sayımında atlanır.
f(−x) ne için kullanılır?
f(−x) üzerindeki işaret değişimleri, negatif gerçek kök sayısının olası değerlerini verir.
Olası kök sayıları neden 2'şer azalır?
Gerçek kök sayısı işaret değişimi sayısından çift sayı kadar az olabilir; bu Descartes kuralının yapısal sonucudur.
Bu sonuçtan sonra hangi hesaplayıcı kullanılabilir?
Rasyonel kökler, ikinci derece formülü veya üçüncü derece denklem çözücü, kök değerlerini bulmak için daha uygundur.