هذه الحاسبة تحل المعادلة التربيعية بصيغة الجذور

حاسبة صيغة المعادلة التربيعية تحل المعادلات من الشكل ax²+bx+c=0. تأخذ الحاسبة معاملات a وb وc، ثم تعرض الصيغة، والتعويض، وقيمة المميز Δ، والجذرين.

• تحسب قيمة المميز Δ.
• تحدد هل الجذور حقيقية، أم جذر مكرر، أم جذور مركبة.
• تعرض الصورة الدقيقة عندما يكون ذلك مناسبًا، مثل الكسر أو الجذر المبسط.
• تعرض أيضًا قيمة عشرية تقريبية لكل جذر.

ما صيغة المعادلة التربيعية؟

صيغة المعادلة التربيعية تجد جذور ax²+bx+c=0 من خلال x=(-b±√Δ)/(2a)، حيث Δ=b²−4ac. قيمة Δ هي التي تحدد طبيعة الجذور.

هذه الصيغة مفيدة عندما لا يكون التحليل إلى عوامل مباشرًا. مثلًا x²−2x−1=0 لا تتحلل بسهولة إلى عوامل صحيحة، لكن الصيغة تعطي x=1±√2.

كيف يحدد المميز نوع الجذور؟

المميز Δ=b²−4ac يحدد نوع جذور المعادلة التربيعية. تحسب الحاسبة Δ أولًا، ثم تعرض الجذور بحسب حالته.

• إذا كان Δ>0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان.
• إذا كان Δ=0 فهناك جذر حقيقي مكرر.
• إذا كان Δ<0 فلا توجد جذور حقيقية، بل جذران مركبان مترافقان.
• إذا كان Δ مربعًا كاملًا فقد تظهر الجذور كأعداد صحيحة أو كسور دقيقة.
• إذا لم يكن Δ مربعًا كاملًا فقد تظهر صورة جذرية مبسطة مع قيمة تقريبية.

هذه الحاسبة لا تكتفي بحساب Δ. بعد تحديد نوع الجذور، تعرض قيم الجذور نفسها.

كيف تبني الحاسبة النتيجة؟

تضع الحاسبة معاملات a وb وc داخل صيغة الجذور، ثم تحسب Δ، ثم تختار أوضح طريقة لعرض كل جذر. بطاقة كل جذر توضّح إن كانت القيمة دقيقة أو تقريبية.

1. قراءة معاملات a وb وc.
2. حساب Δ=b²−4ac.
3. تصنيف الجذور حسب إشارة Δ.
4. حساب الجذور من x=(-b±√Δ)/(2a).
5. عرض كسر أو جذر مبسط عندما يكون ذلك مناسبًا.
6. عرض قيمة عشرية تقريبية للمراجعة.

مثال: جذران حقيقيان مختلفان

في المعادلة x²−5x+6=0 تكون القيم a=1 وb=−5 وc=6. نحصل على Δ=25−24=1، ولذلك يوجد جذران حقيقيان مختلفان.

1. في الصيغة يكون −b=5 و2a=2.
2. √Δ=√1=1.
3. x₁=(5+1)/2=3.
4. x₂=(5−1)/2=2.

في هذا المثال تظهر الجذور بدقة على شكل 3 و2. القيم العشرية لا تضيف قيمة جديدة هنا، بل تؤكد النتيجة.

مثال: نتيجة جذرية مبسطة

في المعادلة x²−2x−1=0 تكون القيم a=1 وb=−2 وc=−1. نحصل على Δ=4+4=8، وهو موجب لكنه ليس مربعًا كاملًا.

1. تعطي الصيغة x=(2±√8)/2.
2. يبسط √8 إلى 2√2.
3. إذن الجذور الدقيقة هي x=1±√2.
4. القيم التقريبية هي x≈2.414 وx≈−0.414.

كيف نقرأ الجذور المركبة؟

عندما تكون Δ سالبة، لا تكون الجذور أعدادًا حقيقية. تظهر الجذور كزوج مركب مترافق. مثلًا في x²+2x+5=0 تكون Δ=4−20=−16، والجذور هي −1+2i و−1−2i.

هذا ليس خطأ. معناه أن القطع المكافئ لا يقطع محور x، لكن للمعادلة جذورًا في مجموعة الأعداد المركبة.

ما الفرق بينها وبين حاسبة المميز؟

هذه الحاسبة تحسب الجذور نفسها. أما حاسبة المميز فتحسب Δ وتخبرك بطبيعة الجذور فقط. إذا أردت قيم x النهائية، فهذه الصفحة هي الأداة المناسبة.

• حاسبة المميز: ما قيمة Δ وما نوع الجذور؟
• حاسبة صيغة المعادلة التربيعية: ما قيم جذور x؟
• إكمال المربع: طريقة أخرى للوصول إلى الجذور نفسها.
• رسم المتباينة التربيعية: يستخدم الجذور كنقاط حدية للحل.

أخطاء شائعة

أكثر أخطاء صيغة المعادلة التربيعية تأتي من الإشارات، وحساب Δ، والخلط بين القيمة الدقيقة والقيمة التقريبية.

• كتابة −b بإشارة خاطئة عندما يكون b سالبًا.
• نسيان أن b² يعني تربيع قيمة b كاملة.
• إهمال إشارة 4ac.
• استخدام الصيغة عندما يكون a=0.
• اعتبار القيمة التقريبية قيمة دقيقة.
• اعتبار Δ<0 خطأ في الحاسبة بدل فهمها كحالة جذور مركبة.

حدود هذه الحاسبة

هذه الحاسبة مخصصة للمعادلات التربيعية بمتغير واحد. لا ترسم القطع المكافئ، ولا تحل المتباينات، ولا تحل المعادلات التكعيبية.

النتيجة مبنية على صيغة رياضية ثابتة. لكن القيم العشرية قد تكون مقربة، لذلك استخدم الصورة الدقيقة عندما تكون متاحة.