حاسبة المميّز مقدمة من Hesapstan لحساب وتفسير المميّز للمعادلة التربيعية ax²+bx+c والمعادلة التكعيبية ax³+bx²+cx+d. تعرض الحاسبة القانون، وخطوة التعويض، وقيمة المميّز العددية، وتفسير نوع الجذور. لا تحسب هذه الصفحة قيم الجذور نفسها ولا تحلل كثيرة الحدود إلى عوامل.
المميّز يحدد نوع الجذور ولا يعطي قيم الجذور نفسها
المميّز هو تعبير خاص يعطي معلومات عن جذور المعادلة. في المعادلة التربيعية، تحدد قيمة D=b²−4ac هل توجد جذور حقيقية مختلفة، أو جذر مضاعف، أو جذور مركبة مترافقة.
تدعم هذه الحاسبة وضعين: التربيعي والتكعيبي. لكل وضع قانونه الخاص، والنتيجة المعروضة هي قيمة المميّز وتفسيرها، وليست حلًا كاملًا للجذور.
يدعم هذا الإصدار المعادلات التربيعية والتكعيبية فقط. معادلات الدرجة الرابعة وما فوق، وحساب الجذور الفعلية، والتحليل إلى عوامل، والرسم البياني ليست ضمن نطاق هذه الحاسبة.
تعرض الحاسبة القانون والتعويض والقيمة والتفسير
في الوضع التربيعي تُدخل a وb وc. في الوضع التكعيبي تُدخل a وb وc وd. في الحالتين يجب ألا يكون a مساويًا للصفر، لأن المعادلة ستفقد درجتها المختارة.
- اختر درجة المعادلة: تربيعية أو تكعيبية.
- أدخل المعاملات العددية، بما في ذلك القيم السالبة أو العشرية عند الحاجة.
- اقرأ قانون المميّز الخاص بالدرجة المختارة.
- راجع سطر التعويض الذي يضع معاملاتك داخل القانون.
- استخدم القيمة العددية ووسم التفسير لمعرفة نوع الجذور.
المميّز يحدد نوع الجذور فقط. هذه الحاسبة لا تحسب قيم الجذور الفعلية.
مميّز المعادلة التربيعية هو D=b²−4ac
للمعادلة ax²+bx+c=0 يكون المميّز D=b²−4ac. ترتبط هذه القيمة بالرسم البياني للتربيعية لأنها توضّح علاقة القطع المكافئ بمحور x.
- إذا كان D>0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان، ويقطع الرسم محور x في نقطتين.
- إذا كان D=0 فهناك جذر حقيقي مضاعف، ويمس الرسم محور x في نقطة واحدة.
- إذا كان D<0 فلا توجد جذور حقيقية، بل يوجد جذران مركبان مترافقان.
في المعادلة التربيعية، D<0 يعني عدم وجود جذور حقيقية. لكن في الأعداد المركبة توجد جذور مركبة مترافقة.
مميّز المعادلة التكعيبية يستخدم قانونًا أطول لتحديد نوع الجذور
للمعادلة ax³+bx²+cx+d=0 يكون المميّز Δ=18abcd−4b³d+b²c²−4ac³−27a²d². هذا القانون أقل شيوعًا من مميّز التربيعية، لكنه يؤدي وظيفة مشابهة: وصف طبيعة الجذور.
- إذا كان Δ>0 فهناك ثلاثة جذور حقيقية مختلفة.
- إذا كان Δ=0 فهناك جذر مكرر واحد على الأقل؛ وتحديد التعدد بدقة يحتاج إلى تحليل إضافي.
- إذا كان Δ<0 فهناك جذر حقيقي واحد وجذران مركبان مترافقان غير حقيقيين.
مميّز المعادلة التكعيبية موضوع أكثر تقدمًا من مميّز التربيعية المعتاد. تعرض الحاسبة القانون والتفسير، لكنها لا تحلل التكعيبية ولا تحسب جذورها.
الأمثلة توضّح كيف يغير التعويض قيمة المميّز
مثال تربيعي: في x²−5x+6=0 تكون a=1 وb=−5 وc=6. إذن D=b²−4ac = (−5)²−4·1·6 = 25−24 = 1. وبما أن D>0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان.
مثال تكعيبي: في x³−6x²+11x−6=0 تكون a=1 وb=−6 وc=11 وd=−6. عند التعويض في Δ=18abcd−4b³d+b²c²−4ac³−27a²d² نحصل على Δ=4. وبما أن Δ>0 فهناك ثلاثة جذور حقيقية مختلفة.
تهدف الأمثلة إلى شرح حساب المميّز وتفسيره، لا إلى تحويل الحاسبة إلى أداة لإيجاد قيم الجذور.
المميّز والمحدد وحساب الجذور مفاهيم مختلفة
المميّز يرتبط ببنية جذور كثيرة الحدود. أما المحدد فهو مفهوم مرتبط بالمصفوفات. التشابه في الاسم لا يعني أن هذه الحاسبة تحسب المحددات.
- المميّز يوضح نوع الجذور، ولا يعرض قيمها الفعلية.
- في التربيعية، D<0 يعني جذورًا مركبة مترافقة، وليس غياب الجواب تمامًا.
- في التكعيبية، Δ=0 يعني وجود جذر مكرر على الأقل، لا تحليلًا كاملًا لتعدد الجذور.
- مميّز الدرجة الرابعة وما فوق خارج نطاق هذا الإصدار.
المعامل السالب داخل قوة أو حاصل ضرب قد يغيّر قيمة المميّز كثيرًا. لذلك تعرض الحاسبة خطوة التعويض لتقليل أخطاء الإشارة.
نتيجة المميّز تساعدك على اختيار الخطوة التالية
بعد معرفة نوع الجذور من المميّز، قد تحتاج إلى أداة أخرى لإكمال الحل. في التربيعية، يمكن استخدام إكمال المربع لرؤية خطوات الحل وقيم الجذور العددية، بينما يكون التحليل مفيدًا عندما تكون العوامل بسيطة.
- استخدم هذه الحاسبة لمعرفة نوع الجذور بسرعة.
- استخدم حاسبة إكمال المربع إذا أردت خطوات حل التربيعية والجذور العددية.
- استخدم FOIL العكسي أو التحليل عندما تكون عوامل التربيعية مناسبة.
- راجع فكرة الجذور المركبة المترافقة عندما يكون مميّز التربيعية سالبًا.
أسئلة شائعة
ما هو المميّز؟
المميّز تعبير يحدد نوع جذور المعادلة. في التربيعية يكون D=b²−4ac.
هل تحسب هذه الحاسبة الجذور؟
لا. تحسب قيمة المميّز وتفسر نوع الجذور، لكنها لا تعرض قيم الجذور الفعلية.
ماذا يعني D<0؟
في المعادلة التربيعية يعني D<0 عدم وجود جذور حقيقية، مع وجود جذرين مركبين مترافقين.
ماذا يعني D=0؟
في التربيعية يعني جذرًا حقيقيًا مضاعفًا. في التكعيبية يعني وجود جذر مكرر واحد على الأقل، وتحديد التعدد بدقة يحتاج إلى تحليل إضافي.
ما قانون مميّز المعادلة التكعيبية؟
للمعادلة ax³+bx²+cx+d=0 يكون القانون Δ=18abcd−4b³d+b²c²−4ac³−27a²d².
هل تدعم الحاسبة معادلات الدرجة الرابعة؟
لا. يدعم هذا الإصدار مميّز المعادلات التربيعية والتكعيبية فقط.
هل المميّز هو نفسه المحدد؟
لا. المميّز يتعلق بجذور كثيرات الحدود، أما المحدد فيتعلق بالمصفوفات.
لماذا قانون التكعيبية أطول؟
لأن المعادلة التكعيبية تحتوي على تفاعلات أكثر بين المعاملات وحالات جذور أكثر، لذلك يكون مميّزها أطول من b²−4ac.