حاسبة إكمال المربع مقدمة من Hesapstan لحل المعادلة التربيعية ax²+bx+c=0 عبر خطوات واضحة: التطبيع عند الحاجة، نقل الحد الثابت، إضافة مربع نصف معامل x، إعادة الكتابة على صورة مربع كامل، استخراج صيغة رأس القطع المكافئ، حساب المميّز، ثم عرض الجذور الحقيقية أو المركّبة بصيغة عددية. لا ترسم هذه الحاسبة الرسم البياني، ولا تعرض الجذور على صورة جذرية دقيقة مبسّطة مثل (−3 ± √5) / 2.
إكمال المربع يحوّل المعادلة التربيعية إلى مربع كامل
إكمال المربع هو طريقة جبرية لتحويل معادلة تربيعية من الشكل ax²+bx+c=0 إلى عبارة تحتوي على مربع ثنائي مثل (x+h)². الهدف هو جمع حدّي x² وx في صورة مربع يسهل التعامل معه.
فائدة الطريقة لا تقتصر على إيجاد الجذور؛ فهي تكشف أيضًا صيغة رأس القطع المكافئ، أي الصورة التي توضّح الإزاحة الجبرية للتعبير التربيعي.
في الصورة المطَبَّعة x²+px، نضيف (p/2)² حتى تصبح x²+px+(p/2)² = (x+p/2)².
هذه الحاسبة تعرض مسار ax²+bx+c=0 خطوة بخطوة
تأخذ الحاسبة القيم العددية a وb وc، مع شرط أن a لا يساوي صفرًا. ثم تعرض المعادلة الأصلية، وصورة التطبيع عند الحاجة، ونقل الحد الثابت، وخطوة نصف المعامل، والمربع الكامل، وصيغة الرأس، والمميّز، ونوع الجذور، والجذور نفسها.
- تقرأ المعادلة على صورة ax²+bx+c=0.
- إذا لم يكن a مساويًا لـ ±1، تقسم المعادلة على a لجعل معامل x² يساوي 1.
- تنقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر.
- تأخذ نصف معامل x بعد التطبيع ثم تربيعه.
- تضيف هذا المربع إلى الطرفين لتكوين ثلاثي حد مربع كامل.
- تعرض صيغة الرأس، والمميّز، ونوع الجذور، والجذور العددية.
يجب أن تكون المعاملات أرقامًا. لا تدعم هذه الحاسبة معاملات رمزية مثل k، ولا ترسم المنحنى، ولا تبسّط الجذور إلى صيغة جذرية exact.
أدخل معاملات a وb وc كما تظهر في المعادلة
رتّب المعادلة أولًا على الشكل ax²+bx+c=0. بعد ذلك أدخل معامل x² في خانة a، ومعامل x في خانة b، والحد الثابت في خانة c.
- أدخل معامل x² في خانة a؛ القيمة a=0 مرفوضة لأن المعادلة لن تكون تربيعية.
- أدخل معامل x في خانة b مع الإشارة المناسبة.
- أدخل الحد الثابت في خانة c.
- اقرأ النتيجة بالترتيب: التطبيع، إكمال المربع، صيغة الرأس، المميّز، ثم الجذور.
تعرض الحاسبة الجذور بصيغة عددية. قد يكون لبعض المعادلات شكل جذري exact، لكن هذه الحاسبة لا تقدّم تبسيطًا منفصلًا للجذور الجذرية.
الفكرة الأساسية هي خطوة نصف المعامل
بعد القسمة على a تصبح المعادلة على الشكل x²+px+q=0. ننقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر فنحصل على x²+px=-q، ثم نأخذ p/2 ونضيف (p/2)² إلى الطرفين.
عندئذ يصبح الطرف الأيسر مربعًا كاملًا: x²+px+(p/2)² = (x+p/2)². من هذه الصورة يمكن حل المعادلة بأخذ الجذر، كما يمكن قراءة صيغة رأس القطع المكافئ.
إذا كان a لا يساوي 1، فلا يجوز استخدام b الأصلي مباشرة كأن المعادلة x²+bx+c=0. يجب أولًا القسمة على a، ثم استعمال معامل x بعد التطبيع.
مثال محلول: إكمال مربع 2x²+8x−10=0
هذا المثال يتبع ترتيب مخرجات الحاسبة: التطبيع، نقل الحد الثابت، تكوين المربع الكامل، حل الجذور، ثم تفسير المميّز.
- نبدأ من المعادلة: 2x²+8x−10=0.
- نقسم على 2: x²+4x−5=0.
- ننقل الحد الثابت: x²+4x=5.
- معامل x بعد التطبيع هو p=4، إذن p/2=2 و(p/2)²=4.
- نضيف 4 إلى الطرفين: x²+4x+4=9.
- نكتب الطرف الأيسر مربعًا كاملًا: (x+2)²=9.
- نحل: x+2=±3، وبالتالي x=1 أو x=−5.
- صيغة الرأس هي 2(x+2)²−18. أما المميّز فهو D=144، لذلك توجد جذران حقيقيان مختلفان.
لأن a=2، فهو يبيّن خطوة التطبيع التي ينساها كثير من الطلاب عند تطبيق طريقة إكمال المربع.
المميّز يشرح نوع الجذور ولا يعطي الشكل الجذري exact
تعرض الحاسبة أيضًا قيمة المميّز D=b²−4ac. إذا كان D>0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان، وإذا كان D=0 فهناك جذر حقيقي مضاعف، وإذا كان D<0 فهناك جذران مركّبان مترافقان.
هذا التفسير يوضح نوع الجذور. أما القيم المعروضة للجذور فهي قيم عددية تقريبية؛ فإذا كان D موجبًا وليس مربعًا كاملًا فقد ترى جذورًا عشرية بدل صيغة تحتوي على √D.
في الرسم البياني للتربيعية، D>0 يعني تقاطعين مع محور x، وD=0 يعني تماسًا واحدًا، وD<0 يعني عدم وجود تقاطع حقيقي. هذه الحاسبة تشرح ذلك نصيًا ولا ترسم المنحنى.
إكمال المربع يختلف عن القانون العام والتحليل
يمكن حل المعادلة التربيعية بأكثر من طريقة. إكمال المربع يوضح التحويل الجبري خطوة بخطوة، والقانون العام يعطي الجذور مباشرة، والتحليل قد يكون أسرع عندما تنقسم العبارة إلى عاملين بسيطين.
- استخدم إكمال المربع عندما تريد رؤية الخطوات وصيغة الرأس.
- استخدم المميّز عندما تريد معرفة نوع الجذور بسرعة.
- استخدم FOIL العكسي أو التحليل عندما تكون عوامل ثلاثي الحدود واضحة.
- استخدم حاسبة الجذر التربيعي للتحقق من خطوة √D منفصلة.
تعرض هذه الصفحة الجذور ضمن مسار إكمال المربع. ليست أداة رسم، ولا محلّل معاملات رمزية، ولا مبسّطًا للصيغ الجذرية الدقيقة.
أسئلة شائعة
ما معنى إكمال المربع؟
هو تحويل حدّي x² وx في المعادلة التربيعية إلى مربع كامل مثل (x+h)² عبر إضافة مربع نصف معامل x بعد التطبيع.
هل تعطي الحاسبة جذورًا جذرية دقيقة؟
لا. تعرض الحاسبة الجذور بصيغة عددية أو عشرية، ولا تقدّم تبسيطًا منفصلًا لصيغ مثل (−3 ± √5) / 2.
لماذا ترفض الحاسبة a=0؟
لأن a=0 يجعل المعادلة غير تربيعية، وبالتالي لا تنطبق طريقة إكمال المربع للمعادلة ax²+bx+c=0.
ما فائدة صيغة رأس القطع المكافئ؟
صيغة الرأس تكتب التربيعية على شكل a(x−h)²+k أو صيغة مكافئة، وتساعد على فهم موضع الرأس جبريًا. الحاسبة لا ترسم الرسم البياني.
هل إكمال المربع هو نفسه القانون العام؟
لا. القانون العام يعطي الجذور مباشرة، أما إكمال المربع فيحوّل المعادلة خطوة بخطوة إلى مربع كامل ثم يستخرج الجذور.
ماذا يعني D<0؟
يعني عدم وجود جذور حقيقية، لكن توجد جذور مركّبة مترافقة. تعرضها الحاسبة عدديًا على صورة re ± im·i.
لماذا تظهر خطوة التطبيع أحيانًا فقط؟
تظهر عندما لا يكون a مساويًا لـ ±1، لأن المعادلة تحتاج إلى القسمة على a قبل تكوين المربع الكامل.