حاسبة مرافق العدد المركب مقدمة من Hesapstan لإيجاد z̄=a−bi عندما يكون z=a+bi، ثم عرض z × z̄ ومربع المعيار |z|²=a²+b². هذه الحاسبة لا تحسب المعيار نفسه |z|=√(a²+b²)، ولا تحول إلى الصيغة القطبية، ولا تنفذ عمليات عامة على الأعداد المركبة أو رسمًا على المستوى المركب.
مرافق العدد المركب يغيّر إشارة الجزء التخيلي فقط
مرافق العدد المركب a+bi هو العدد الذي يُبقي الجزء الحقيقي a كما هو، ويعكس إشارة الجزء التخيلي. لذلك إذا كان z=a+bi فإن مرافقه هو z̄=a−bi.
في هذه الصيغة، a هو الجزء الحقيقي، وb هو معامل الوحدة التخيلية i. عند أخذ المرافق لا يتغير a، بل تتحول +bi إلى −bi، وتتحول −bi إلى +bi.
مرافق a+bi هو a−bi: أبقِ الجزء الحقيقي كما هو، وغيّر إشارة الجزء التخيلي.
هذه الحاسبة تعرض z̄ و z × z̄ و |z|²
تطلب الحاسبة قيمتين عدديتين: a للجزء الحقيقي وb لمعامل الجزء التخيلي. ثم تعرض العدد الأصلي z، والمرافق z̄، وحاصل الضرب z × z̄، والقيمة نفسها بوصفها مربع المعيار |z|².
- أدخل الجزء الحقيقي a.
- أدخل معامل الجزء التخيلي b؛ يمكن أن يكون سالبًا أو عشريًا.
- اقرأ العدد z=a+bi ومرافقه z̄=a−bi.
- راجع سطر z × z̄ لترى لماذا يتحول الناتج إلى عدد حقيقي.
- لا تقرأ سطر |z|² على أنه |z|؛ إنه مربع المعيار لا المعيار بعد أخذ الجذر.
المعيار |z| يساوي √(a²+b²). هذه الحاسبة تعرض فقط |z|²=a²+b²؛ لذلك القيمة المعروضة ليست طول العدد المركب نفسه إلا إذا أخذت الجذر التربيعي خارج الحاسبة.
حاصل الضرب z × z̄ يكون دائمًا عددًا حقيقيًا
عند ضرب العدد المركب في مرافقه تلغي الحدود التخيلية بعضها بعضًا. عند توسيع (a+bi)(a−bi) يظهر الحد −abi والحد +abi، فيتلاشيان. وبما أن i²=−1، تبقى الصيغة a²+b².
لهذا يكون z × z̄ عددًا حقيقيًا، ويساوي في الوقت نفسه مربع المعيار |z|². تظهر هذه العلاقة عند ترشيد مقامات مركبة، وفهم الجذور المركبة المترافقة، وبعض الحسابات المرتبطة بالمعيار.
إذا كان z=3+4i فإن z̄=3−4i. حاصل الضرب هو (3+4i)(3−4i)=3²+4²=9+16=25. هذه القيمة 25 هي |z|²؛ أما المعيار |z| نفسه فهو 5، لكن هذه الحاسبة تعرض مربع المعيار فقط.
الحالات الخاصة تجعل قاعدة المرافق أسهل للفحص
لا تتغير قاعدة المرافق في الأعداد الحقيقية أو التخيلية الصرفة أو الصفر، لكن شكل الناتج يصبح أبسط. هذه الحالات مفيدة للتأكد من قراءة النتيجة بشكل صحيح.
- إذا كان b=0 فالعدد z=a حقيقي، ومرافقه هو العدد نفسه.
- إذا كان a=0 فالعدد z=bi تخيلي صرف، ومرافقه −bi.
- إذا كان a=0 وb=0 فالعدد z=0، ومرافقه 0، وz × z̄=0، و|z|²=0.
- إذا كان b سالبًا تنعكس الإشارة أيضًا؛ مرافق 2−5i هو 2+5i.
مربع المعيار ليس هو المعيار نفسه
مربع المعيار هو |z|²=a²+b². أما المعيار نفسه فهو |z|=√(a²+b²). بحسب نطاق هذه الحاسبة، الناتج المعروض هو القيمة المربعة، وليس الجذر التربيعي لها.
هذا الفرق مهم لأن z × z̄ يعطي مباشرة a²+b². قبل أخذ الجذر التربيعي تكون القيمة مربع طول، لا الطول نفسه على المستوى المركب.
إذا ظهر في النتيجة |z|²=25 فهذا لا يعني أن المعيار يساوي 25. المعيار يساوي 5، لكن الناتج الرسمي في هذه الحاسبة هو مربع المعيار.
الجذور المركبة في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية تأتي مترافقة
إذا ظهرت جذور مركبة غير حقيقية في كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية، فإن كل جذر يأتي معه مرافقه. في المعادلة التربيعية ذات المميّز السالب، يظهر الجذران غالبًا على صورة p+qi وp−qi.
عندما يكون المميّز D سالبًا في معادلة تربيعية، لا توجد جذور حقيقية، بل يظهر جذران مركبان مترافقان. هذه الحاسبة لا تحل تلك الجذور، لكنها توضّح معنى المرافق نفسه.
هذه ليست حاسبة عامة للأعداد المركبة
النطاق هنا ضيق عمدًا: من عدد مركب واحد z تعرض الحاسبة z̄ وz × z̄ و|z|². لا تجمع أعدادًا مركبة، ولا تضرب عددين مركبين مختلفين، ولا تقسم، ولا ترسم، ولا تحول إلى الصيغة القطبية.
- لا يتم حساب الصيغة القطبية r وθ.
- لا توجد عمليات عامة مثل z₁+z₂ أو z₁×z₂ أو z₁/z₂.
- لا تُقبل معاملات رمزية لـ a وb؛ يجب أن تكون المدخلات عددية.
- لا يوجد رسم على المستوى المركب ولا إخراج للزاوية.
أسئلة شائعة
ما مرافق العدد المركب a+bi؟
مرافق a+bi هو a−bi. يبقى الجزء الحقيقي كما هو، وتتغير إشارة الجزء التخيلي.
هل تحسب هذه الحاسبة المعيار |z|؟
لا. تحسب مربع المعيار |z|²=a²+b². أما المعيار |z|=√(a²+b²) فلا يظهر كمخرج مستقل.
لماذا يكون z × z̄ عددًا حقيقيًا؟
لأن الحدود التخيلية تتلاشى عند توسيع (a+bi)(a−bi)، فيبقى a²+b² فقط.
هل z × z̄ يساوي |z|²؟
نعم. لكل عدد مركب z، لدينا z × z̄ = |z|² = a²+b².
ما مرافق عدد حقيقي؟
إذا كان b=0 فالعدد حقيقي ومرافقه هو نفسه. مثلًا مرافق 7 هو 7.
ما مرافق عدد تخيلي صرف؟
إذا كان a=0 فالعدد z=bi ومرافقه −bi. مثلًا مرافق 5i هو −5i.
هل تقسم هذه الحاسبة الأعداد المركبة؟
لا. القسمة والجمع والضرب العام للأعداد المركبة خارج نطاق هذه الحاسبة.
لماذا تظهر الجذور المركبة على شكل أزواج مترافقة؟
في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية تظهر الجذور المركبة غير الحقيقية على شكل أزواج مترافقة، مثل p+qi وp−qi.