Hesapstan tarafından hazırlanan Karmaşık Eşlenik Hesaplayıcı, z=a+bi için karmaşık eşleniği z̄=a−bi olarak bulur, z × z̄ çarpımını ve modül karesi |z|²=a²+b² değerini gösterir. Bu araç gerçek modül |z|=√(a²+b²) değerini, kutupsal formu, karmaşık sayı işlemlerini veya karmaşık düzlem grafiğini hesaplamaz.
Karmaşık eşlenik, sanal kısmın işaretini değiştirir
Karmaşık eşlenik, a+bi biçimindeki bir karmaşık sayıda gerçek kısmı aynı bırakıp sanal kısmın işaretini ters çeviren sayıdır. Bu nedenle z=a+bi ise z̄=a−bi olur.
Burada a gerçek kısım, b ise i'nin katsayısıdır. Eşlenik alırken a değişmez; yalnızca +bi kısmı −bi, −bi kısmı ise +bi olur.
a+bi sayısının eşleniği a−bi'dir. Gerçek kısım aynı kalır, sanal kısmın işareti değişir.
Bu hesaplayıcı z̄, z × z̄ ve |z|² değerlerini gösterir
Araç iki sayısal giriş ister: a gerçek kısmı ve b sanal kısmın katsayısı. Sonuçta girilen z sayısı, eşlenik z̄, z × z̄ çarpımı ve aynı değere karşılık gelen modül karesi |z|² ayrı satırlarda gösterilir.
- a alanına gerçek kısmı girin.
- b alanına i'nin katsayısını girin; negatif ve ondalık değerler kullanılabilir.
- Sonuçta z=a+bi biçimini ve z̄=a−bi eşleniğini okuyun.
- z × z̄ satırında a²+b² değerinin gerçek sayı olarak nasıl elde edildiğini görün.
- Modül karesi |z|² satırını |z| ile karıştırmayın; bu satır karekök alınmamış değeri gösterir.
Modül |z|, √(a²+b²) değeridir. Bu hesaplayıcı yalnızca |z|²=a²+b² modül karesini gösterir; dolayısıyla sonuç karekök alınmış gerçek modül değildir.
z × z̄ çarpımı her zaman gerçek sayıdır
Eşlenikle çarpmanın temel özelliği, sanal terimlerin birbirini götürmesidir. (a+bi)(a−bi) açıldığında −abi ve +abi terimleri sıfırlanır; i²=−1 olduğu için kalan ifade a²+b² olur.
Bu yüzden z × z̄ hem gerçek sayıdır hem de |z|² modül karesine eşittir. Bu ilişki, karmaşık sayılarda payda rasyonelleştirme, köklerin eşlenikliği ve norm benzeri hesaplarda sık görülür.
z=3+4i için z̄=3−4i olur. Çarpım (3+4i)(3−4i)=3²+4²=9+16=25'tir. Bu 25 değeri |z|²'dir; gerçek modül |z| ise 5 olur, fakat bu araç yalnızca 25 değerini gösterir.
Özel durumlarda eşlenik daha da basitleşir
Gerçek veya saf sanal sayılarda eşlenik kuralı değişmez, ancak sonuç daha sade görünür. Bu durumlar kullanıcıların en sık karıştırdığı kenar durumlarıdır.
- b=0 ise z=a gerçek sayıdır ve eşleniği yine a olur.
- a=0 ise z=bi saf sanal sayıdır ve eşleniği −bi olur.
- a=0 ve b=0 ise z=0, z̄=0, z × z̄=0 ve |z|²=0 olur.
- b negatif girilirse işaret yine ters çevrilir; örneğin 2−5i sayısının eşleniği 2+5i'dir.
Modül karesi ile modül aynı şey değildir
Modül karesi |z|²=a²+b² değeridir. Modül |z| ise bunun kareköküdür: |z|=√(a²+b²). Bu hesaplayıcı sözleşmeye göre modül karesini gösterir; modül değerini ayrı bir çıktı olarak üretmez.
Bu ayrım önemlidir çünkü z × z̄ doğrudan a²+b² verir. Karekök adımı yapılmadığı sürece elde edilen değer uzunluk değil, uzunluğun karesidir.
Ekranda |z|²=25 görüyorsanız bu, modülün 25 olduğu anlamına gelmez. Modül 5 olabilir; ancak bu hesaplayıcının resmi çıktısı |z|² satırıdır.
Karmaşık kökler gerçek katsayılı denklemlerde eşlenik çiftler halinde gelir
Gerçek katsayılı bir polinomda karmaşık bir kök ortaya çıkarsa, onun eşleniği de kök olur. Örneğin ikinci dereceden bir denklemde diskriminant negatifse iki kök genellikle p+qi ve p−qi biçiminde bir eşlenik çift olarak yazılır.
Diskriminant D<0 olduğunda ikinci derece denklemin gerçek kökü yoktur; bunun yerine iki karmaşık eşlenik kök oluşur. Bu hesaplayıcı o kökleri çözmez, fakat eşlenik yapısını anlamak için z̄ kavramını gösterir.
Bu araç genel karmaşık sayı hesaplayıcısı değildir
Karmaşık eşlenik hesaplayıcı dar kapsamlıdır: bir z sayısından z̄ değerini, z × z̄ çarpımını ve |z|² değerini verir. İki karmaşık sayıyı toplama, çarpma, bölme, kutupsal forma çevirme veya karmaşık düzlemde nokta çizme bu sayfanın kapsamı değildir.
- Kutupsal form için r ve θ hesaplanmaz.
- z₁+z₂, z₁×z₂ veya z₁/z₂ gibi genel işlemler yapılmaz.
- Sembolik a ve b katsayıları desteklenmez; girişler sayısal olmalıdır.
- Karmaşık düzlem grafiği veya açı gösterimi yoktur.
Sık Sorulan Sorular
Karmaşık eşlenik nedir?
a+bi sayısının karmaşık eşleniği a−bi'dir. Gerçek kısım aynı kalır, sanal kısmın işareti değişir.
Bu hesaplayıcı |z| değerini hesaplar mı?
Hayır. Bu hesaplayıcı |z|² modül karesini hesaplar. Gerçek modül |z|=√(a²+b²) ayrı bir çıktı değildir.
z × z̄ neden gerçek sayı olur?
Çünkü (a+bi)(a−bi) açıldığında sanal terimler birbirini götürür ve i²=−1 nedeniyle sonuç a²+b² olur.
z × z̄ ile |z|² aynı mı?
Evet. Her karmaşık sayı için z × z̄ = |z|² = a²+b² olur.
Gerçek bir sayının eşleniği nedir?
b=0 ise sayı zaten gerçektir ve eşleniği kendisidir. Örneğin 7'nin eşleniği yine 7'dir.
Saf sanal sayının eşleniği nasıl bulunur?
a=0 ise z=bi olur; eşleniği −bi'dir. Örneğin 5i'nin eşleniği −5i'dir.
Bu araç karmaşık sayıları böler mi?
Hayır. Bölme, toplama, çarpma gibi genel karmaşık sayı işlemleri bu sayfanın kapsamı değildir.
Karmaşık kökler neden eşlenik gelir?
Gerçek katsayılı polinomlarda karmaşık kökler eşlenik çiftler hâlinde görünür. Bu, özellikle negatif diskriminantlı ikinci derece denklemlerde sık karşılaşılan bir durumdur.