حاسبة رسم بيان المتباينة التربيعية مقدمة من Hesapstan لمساعدة المستخدم على حل ax²+bx+c < 0 أو ≤ 0 أو > 0 أو ≥ 0 عبر الجذور والمميز ورسم الإشارة ومجموعة الحل بترميز الفترات.
ماذا تحل هذه الحاسبة؟
تحل هذه الحاسبة المتباينات التربيعية التي تتم فيها مقارنة ax²+bx+c بالصفر. يدخل المستخدم معاملات a وb وc، ثم يختار الرمز < أو ≤ أو > أو ≥، فتظهر الجذور والمميز وإشارة العبارة ومجموعة الحل.
- في حالة Δ > 0 تظهر جذران حقيقيان وثلاث مناطق إشارة.
- في حالة Δ = 0 تظهر جذر مكرر وحالة نقطة واحدة أو استثناء نقطة بحسب الرمز.
- في حالة Δ < 0 لا توجد جذور حقيقية، لكن الحل قد يكون كل الأعداد الحقيقية أو المجموعة الخالية.
- تعرض الحاسبة مجموعة الحل بترميز الفترات.
- تعرض رسمًا تخطيطيًا للقطع المكافئ، لا رسمًا دقيقًا قابلًا للقياس.
الغرض من الرسم هو توضيح اتجاه القطع المكافئ والجذور ومناطق الحل. لا يُستخدم كأداة رسم هندسية دقيقة أو كرسم قابل للتكبير والقياس.
ما هي المتباينة التربيعية؟
المتباينة التربيعية هي متباينة يكون أعلى حد فيها من الدرجة الثانية، وتكتب عادة على الصورة ax²+bx+c [op] 0، مع شرط أن a لا يساوي صفرًا.
المطلوب في هذا النوع ليس إيجاد قيمة واحدة لـ x فقط. المطلوب هو تحديد كل القيم أو الفترات التي تجعل العبارة موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر بحسب رمز المتباينة.
الجذور تحدد نقاط الانتقال أو التماس مع محور x. أما حل المتباينة فيحتاج معرفة الإشارة على جانبي هذه الجذور.
ما منطق الحل؟
يعتمد الحل على إيجاد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور x، ثم تحديد أين تكون العبارة موجبة أو سالبة أو صفرًا. بعد ذلك تُختار الفترات المطابقة لرمز المتباينة.
- نحسب المميز Δ = b² − 4ac.
- نجد الجذور الحقيقية إن وجدت ونرتبها.
- نحدد اتجاه القطع المكافئ من إشارة a.
- نقرأ إشارة ax²+bx+c في كل فترة.
- ندخل الجذور أو نستبعدها بحسب كون الرمز صارمًا أو متضمنًا للمساواة.
كيف يغيّر المميز شكل الحل؟
المميز يحدد عدد نقاط الحدود الحقيقية. إذا كان Δ > 0 فهناك جذران حقيقيان، وإذا كان Δ = 0 فهناك جذر مكرر، وإذا كان Δ < 0 فلا توجد جذور حقيقية.
- Δ > 0: الحل يكون غالبًا بين الجذرين أو خارجهما.
- Δ = 0: قد يكون الحل نقطة واحدة، أو كل الأعداد الحقيقية عدا نقطة، أو كل الأعداد الحقيقية، أو المجموعة الخالية.
- Δ < 0: لا توجد حدود حقيقية؛ تبقى العبارة بالإشارة نفسها لكل x حقيقي.
مثلًا x²+1 > 0 صحيحة لكل x حقيقي، بينما x²+1 < 0 لا حل لها في الأعداد الحقيقية.
ما الفرق بين < و≤ أو بين > و≥؟
الرمزان < و> يستبعدان الجذور لأن قيمة العبارة عند الجذر تساوي صفرًا. أما ≤ و≥ فيسمحان بالمساواة، لذلك تُدرج الجذور المناسبة في الحل.
مثلًا حل x²−5x+6 < 0 هو (2, 3)، أما حل x²−5x+6 ≤ 0 فهو [2, 3]. الفرق هو إدخال الطرفين أو استبعادهما.
القوس العادي يعني أن الطرف غير داخل في الحل. القوس المربع يعني أن الطرف داخل في الحل.
مثال: جذران حقيقيان
في المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0 تكون المعاملات a=1 وb=-5 وc=6. قيمة Δ تساوي 1، ولذلك الجذران الحقيقيان هما x=2 وx=3.
- القطع المكافئ مفتوح للأعلى لأن a موجبة.
- في هذه الحالة تكون العبارة سالبة بين الجذرين وموجبة خارجهما.
- المطلوب هو ≤ 0، لذلك نختار المنطقة بين الجذرين.
- بما أن المساواة مسموحة، يدخل الجذران 2 و3 في الحل.
- مجموعة الحل: [2, 3].
مثال: جذر مكرر وحل نقطة واحدة
في المتباينة x² − 4x + 4 ≤ 0 يمكن كتابة العبارة على صورة (x−2)². هنا Δ=0 والجذر المكرر هو x=2.
المربع لا يكون سالبًا أبدًا. يساوي صفرًا فقط عند x=2. لذلك يكون حل ≤ 0 هو النقطة المفردة {2}. ولو كان الرمز < 0 لكان الحل هو المجموعة الخالية.
الحل هنا نقطة واحدة لا فترة لها طول. لذلك يعرضه النظام كمجموعة مفردة لتقليل الالتباس.
مثال: لا توجد جذور حقيقية
في المتباينة x² + 1 > 0 تكون Δ=-4، ولذلك لا توجد جذور حقيقية. وبما أن a موجبة، يبقى القطع المكافئ فوق محور x لكل x حقيقي.
إذن الحل هو كل الأعداد الحقيقية. أما لو كانت المتباينة x² + 1 < 0، لكان الحل هو المجموعة الخالية لأن العبارة لا تكون سالبة في الأعداد الحقيقية.
عند عدم وجود جذور حقيقية، يعتمد الحل على توافق الإشارة المطلوبة مع إشارة القطع المكافئ في كل المجال.
كيف تقرأ الرسم ورسم الإشارة؟
يعرض الرسم التخطيطي اتجاه القطع المكافئ والجذور الحقيقية ومناطق الحل على محور x. أما رسم الإشارة فيوضح أين تكون العبارة موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر.
- إذا كانت a موجبة فالقطع المكافئ مفتوح للأعلى.
- إذا كانت a سالبة فالقطع المكافئ مفتوح للأسفل.
- علامات الجذور تحدد أطراف الفترات.
- الأجزاء المظللة أو المميزة على محور x تمثل مجموعة الحل.
- تبقى الرموز الرياضية مثل x وy وΔ مكتوبة بحروف لاتينية ومعزولة الاتجاه حتى في الواجهة العربية.
متى تكون هذه الحاسبة مفيدة؟
تفيد حاسبة المتباينة التربيعية عندما تريد معرفة أين يكون القطع المكافئ فوق محور x أو تحته أو ملامسًا له. هذا يظهر كثيرًا في الجبر وتحليل الدوال وقراءة الرسوم البيانية.
تفيد الحاسبة أيضًا عندما تعرف الجذور لكنك لا تعرف أي فترة تختار. فهي تجمع الجذور والمميز ورسم الإشارة وترميز الفترات في نتيجة واحدة.
أخطاء شائعة
أكثر خطأ شائع هو الاكتفاء بإيجاد الجذور. في المتباينة التربيعية الجذور ليست الجواب النهائي، بل حدود تساعد على تحديد الفترات الصحيحة.
- نسيان أن a السالبة تعكس نمط الإشارة.
- إدخال الأطراف في متباينة صارمة أو استبعادها في متباينة فيها مساواة.
- اعتبار Δ < 0 مساويًا دائمًا للمجموعة الخالية.
- التعامل مع الجذر المكرر كأنه يقطع محور x مثل الجذرين المختلفين.
- قراءة الرسم التخطيطي كأنه رسم دقيق بالمقياس.
حدود هذه الحاسبة
تقتصر هذه الحاسبة على المتباينات التربيعية المكتوبة على صورة ax²+bx+c [op] 0. إذا كان a=0 فالمسألة ليست تربيعية ولا تعطي الحاسبة نتيجة عادية.
- لا تحل المتباينات الخطية؛ يمكن استخدام أداة خط الأعداد لهذا النوع.
- لا ترسم مناطق متباينات بمتغيرين على المستوى الإحداثي.
- لا توفر رسمًا دقيقًا قابلًا للتكبير أو القياس.
- لا تحل متباينات تحتوي على معاملات رمزية أو معاملات مجهولة.
- تفترض أن المتباينة مرتبة مسبقًا بحيث تكون المقارنة مع الصفر.
أسئلة شائعة
كيف تُحل المتباينة التربيعية؟
نحسب المميز والجذور الحقيقية إن وجدت، ثم نحدد إشارة القطع المكافئ في كل فترة، ونختار الفترات المناسبة للرمز < أو ≤ أو > أو ≥.
هل Δ < 0 يعني أن الحل خالٍ دائمًا؟
لا. إذا كانت إشارة العبارة توافق الرمز المطلوب في كل الأعداد الحقيقية فالحل هو كل الأعداد الحقيقية. وإذا لم توافقه فالحل خالٍ.
لماذا تدخل بعض الجذور في الحل ولا تدخل أخرى؟
لأن قيمة العبارة عند الجذر تساوي صفرًا. الجذر يدخل في الحل مع ≤ أو ≥، ولا يدخل مع < أو >.
ماذا يحدث إذا كانت a سالبة؟
إذا كانت a سالبة فالقطع المكافئ مفتوح للأسفل، ولذلك تنعكس مناطق الإشارة مقارنة بحالة a الموجبة.
هل الرسم في الحاسبة دقيق؟
لا. الرسم تخطيطي لتوضيح اتجاه القطع المكافئ والجذور ومناطق الحل. لا يُستخدم لقياس إحداثيات دقيقة.