Hesapstan tarafından hazırlanan Tam Kare Üçterim Çarpanlara Ayırma aracı, ax²+bx+c biçimindeki tam sayı katsayılı bir üçterimin (px+q)² veya (px−q)² biçiminde yazılıp yazılamadığını kontrol eder. Araç ayrıca p, q ve işaret seçimiyle bir binom karesi oluşturup p²x², ±2pqx ve q² terimlerini adım adım gösterir. Bu araç denklem çözmez; yalnızca tam kare üçterim kimliğini tanır, açıklar ve kurar.
Tam kare üçterim, bir binom karesinin açılmış hâlidir
Tam kare üçterim, (px+q)² veya (px−q)² biçimindeki bir ifadenin açılmasıyla elde edilen üçterimdir. Bu yüzden x² katsayısı p², sabit terim q², orta terim ise işarete bağlı olarak +2pqx veya −2pqx olmalıdır.
Bu hesaplayıcı iki işi ayırır: Kontrol / Çarpanlara Ayır modunda ax²+bx+c ifadesinin tam kare üçterim olup olmadığını test eder; Oluştur modunda ise p ve q değerlerinden tam kare üçterimi üretir.
Tam kare sayı hesaplayıcı yalnızca 49 veya 121 gibi sayılarla ilgilenir. Bu araç ise x içeren üçterimleri, örneğin x²+6x+9 veya 4x²−12x+9 gibi ifadeleri inceler.
Kontrol modu önce kare katsayıları ve orta terimi karşılaştırır
Kontrol modunda a, b ve c tam sayı olarak girilir. Runtime önce a>0 ve c>0 koşullarını, sonra sqrt(a) ve sqrt(c) değerlerinin tam sayı olup olmadığını kontrol eder. Bu değerler p ve q olarak alınabiliyorsa beklenen orta terim büyüklüğü 2pq olur.
- 4x²+12x+9 için a=4, b=12, c=9 alınır.
- sqrt(4)=2 ve sqrt(9)=3 olduğundan p=2, q=3 olur.
- Beklenen orta terim büyüklüğü 2·2·3=12'dir.
- b pozitif ve |b|=12 olduğu için ifade tam kare üçterimdir.
- Sonuç (2x+3)² biçiminde gösterilir.
Sözleşmeye göre (px±q)² formunda p² ve q² pozitif karelerdir. Bu nedenle a<0 veya c<0 geçerli giriş olsa bile araç sonucu Tam Kare Üçterim Değil olarak verir.
Beklenen orta terim özelliği hatayı gösterir
Bir üçterim tam kareye çok benziyor ama orta terim tutmuyorsa, araç beklenen orta terimi ve gerçek orta terimi ayrı gösterir. Bu özellik özellikle öğrencinin sadece ilk ve son terimin kare olmasının yeterli olmadığını görmesi için önemlidir.
Örneğin x²+0x+9 ifadesinde ilk terim x² ve son terim 9 kare görünür. Fakat p=1 ve q=3 ise beklenen orta terim 2·1·3x=6x olur. Gerçek orta terim 0x olduğu için ifade tam kare üçterim değildir.
b pozitifse form (px+q)², b negatifse form (px−q)² olur. Örneğin 4x²−12x+9 ifadesi (2x−3)² olarak yazılır.
Oluştur modu p ve q değerlerinden tam kare üçterim üretir
Oluştur modunda p ve q tam sayı olarak girilir, işaret ayrıca seçilir. p sıfır olamaz; q sabit büyüklüğünü temsil eder. Araç seçilen işarete göre p²x², ±2pqx ve q² terimlerini üretir.
- p=3, q=2 ve artı işareti seçilirse form (3x+2)² olur.
- İlk terim p²x²=9x² olur.
- Orta terim +2pqx=+12x olur.
- Son terim q²=4 olur.
- Açılmış sonuç 9x²+12x+4 şeklinde gösterilir.
Eksi işareti seçildiğinde yalnızca orta terimin işareti değişir. Örneğin (3x−2)² açılımı 9x²−12x+4 olur; ilk ve son terimler yine pozitiftir.
Ortak çarpan önceden çıkarılmaz
Bu hesaplayıcı verilen ax²+bx+c ifadesini olduğu gibi kontrol eder. Tüm terimlerde ortak çarpan varsa, araç önce bu ortak çarpanı dışarı alıp kalan üçterimi ayrıca test etmez.
Örneğin 2x²+8x+8 ifadesi manuel olarak 2(x²+4x+4)=2(x+2)² biçiminde yorumlanabilir. Fakat runtime a=2 değerini doğrudan inceler; 2 tam kare olmadığı için bu ifadeyi kendi kapsamında Tam Kare Üçterim olarak işaretlemez.
Bir ifadede ortak çarpan varsa, önce ortak çarpanı ayırmak ayrı bir cebir adımıdır. Bu araç böyle bir ön işlem vaat etmez; sonucu buna göre yorumlayın.
Bu araç İki Terim Karesi ve Tam Kareye Tamamlama ile aynı değildir
Tam Kare Üçterim aracı polinom katsayılarıyla çalışır: ax²+bx+c ifadesini (px±q)² formuna bağlar. İki Terim Karesi aracı ise yalnızca sayısal a ve b değerleriyle (a±b)² hesabını yapar.
- İki Terim Karesi: sayısal (a±b)² hesabı içindir.
- Tam Kare Üçterim: ax²+bx+c polinomunun (px±q)² olup olmadığını kontrol eder.
- Tam Kareye Tamamlama: ax²+bx+c=0 denklemini çözme sürecidir.
- Diskriminant: kök türünü yorumlar; tam kare üçterim kimliğini doğrudan kurmaz.
Girdi ax²+bx+c ifadesidir. ax²+bx+c=0 denkleminin kökleri veya grafiği bu aracın çıktısı değildir.
Sık Sorulan Sorular
Tam kare üçterim nasıl anlaşılır?
a ve c pozitif tam kare olmalı, sqrt(a)=p ve sqrt(c)=q için |b|=2pq koşulu sağlanmalıdır. Bu durumda işaret b'nin işaretine göre (px+q)² veya (px−q)² olur.
GCF çıkardıktan sonra tam kare elde ediliyorsa araç bunu gösterir mi?
Hayır. Araç ortak çarpanı önce ayırmaz. 2x²+8x+8 gibi ifadelerde manuel olarak GCF çıkarılabilir, ancak bu runtime girilen ifadeyi doğrudan kontrol eder.
b negatifse ne olur?
|b| beklenen 2pq değerine eşitse ve b negatifse sonuç (px−q)² olarak gösterilir. Örneğin 4x²−12x+9, (2x−3)² olur.
Beklenen orta terim ne anlama gelir?
İlk ve son terim kare ise, tam kare üçterim olabilmesi için orta terimin ±2pqx olması gerekir. Araç bu beklenen değeri gerçek b·x ile karşılaştırır.
Bu hesaplayıcı Tam Kareye Tamamlamadan farkı nedir?
Tam Kare Üçterim aracı bir ifadenin (px±q)² olup olmadığını kontrol eder. Tam Kareye Tamamlama ise ikinci derece denklemi çözmek için farklı bir dönüşüm süreci gösterir.