حاسبة ثلاثي الحدود المربع الكامل مقدمة من Hesapstan للتحقق مما إذا كان التعبير ax²+bx+c، بمعاملات صحيحة، يمكن كتابته على صورة (px+q)² أو (px−q)². كما يمكنها بناء ثلاثي مربع كامل من p وq واختيار الإشارة، مع عرض p²x² و±2pqx وq² خطوة بخطوة. هذه أداة متطابقة وتحليل، وليست حاسبة لحل المعادلات أو إيجاد الجذور.
ثلاثي الحدود المربع الكامل هو ناتج توسيع مربع ثنائي حد
ثلاثي الحدود المربع الكامل ينتج من توسيع (px+q)² أو (px−q)². لذلك يجب أن يكون معامل x² مساويًا لـ p²، والحد الثابت مساويًا لـ q²، والحد الأوسط مساويًا لـ +2pqx أو −2pqx بحسب الإشارة.
تعمل الحاسبة بوضعين: وضع التحقق/التحليل يفحص ax²+bx+c ويعرض الصورة المحللة إذا كانت موجودة، ووضع البناء يبدأ من p وq والإشارة ليكوّن ثلاثي الحدود.
حاسبة العدد المربع الكامل تهتم بأعداد مثل 49 أو 121. أما هذه الحاسبة فتتعامل مع تعبيرات تحتوي على x مثل x²+6x+9 أو 4x²−12x+9.
وضع التحقق يقارن الجذور الصحيحة والحد الأوسط
في وضع التحقق يجب أن تكون a وb وc أعدادًا صحيحة، وأن لا تكون a مساوية للصفر. يفحص runtime أن a>0 وc>0، وأن sqrt(a) وsqrt(c) عددان صحيحان، ثم يتحقق من أن |b| يساوي 2pq.
- في 4x²+12x+9 نأخذ a=4 وb=12 وc=9.
- sqrt(4)=2 وsqrt(9)=3، إذن p=2 وq=3.
- معامل الحد الأوسط المتوقع هو 2·2·3=12.
- بما أن b موجب و|b|=12، فالتعبير ثلاثي مربع كامل.
- الصورة المحللة هي (2x+3)².
قد يكون الإدخال صالحًا حسابيًا، لكن صورة (px±q)² تتطلب قيمًا مربعة موجبة لمعامل x² وللحد الثابت. لذلك إذا كان a<0 أو c<0 تعرض الحاسبة أن التعبير ليس ثلاثي مربع كامل.
الحد الأوسط المتوقع يوضح سبب الفشل
قد يبدو التعبير قريبًا من مربع كامل لأن الحد الأول والحد الأخير مربعات، لكنه يفشل بسبب الحد الأوسط. عندما يكون ذلك ممكنًا، تعرض الحاسبة الحد الأوسط المتوقع وتقارنه بالحد الحقيقي b·x.
مثلًا x²+0x+9 له حد أول وحد ثابت يبدوان مربعين. لكن p=1 وq=3 يتطلبان حدًا أوسط مقداره 2·1·3x=6x. الحد الحقيقي هو 0x، ولذلك فالتعبير ليس ثلاثي مربع كامل.
إذا كان b موجبًا تكون الصورة (px+q)²، وإذا كان b سالبًا تكون الصورة (px−q)². مثلًا 4x²−12x+9 تتحلل إلى (2x−3)².
وضع البناء ينشئ المتطابقة من p وq
في وضع البناء تُدخل p وq كأعداد صحيحة وتختار الإشارة بشكل منفصل. لا يمكن أن تكون p صفرًا. بعد ذلك تعرض الحاسبة الحدود p²x² و±2pqx وq².
- اختر p=3 وq=2 والإشارة الموجبة.
- الصورة هي (3x+2)².
- الحد الأول هو p²x²=9x².
- الحد الأوسط هو +2pqx=+12x.
- الحد الأخير هو q²=4.
- الناتج الموسع هو 9x²+12x+4.
عند اختيار الإشارة السالبة يتغير الحد الأوسط فقط. توسعة (3x−2)² هي 9x²−12x+4؛ أما الحد الأول والحد الأخير فيبقيان موجبين.
لا يتم استخراج العامل المشترك الأكبر قبل الفحص
تفحص الحاسبة ثلاثي الحدود كما هو مُدخل. إذا كان في الحدود عامل مشترك أكبر، فإن الحاسبة لا تستخرجه أولًا ثم تفحص التعبير المتبقي.
مثلًا يمكن يدويًا كتابة 2x²+8x+8 على صورة 2(x²+4x+4)=2(x+2)². لكن runtime يرى a=2 مباشرة، وبما أن 2 ليس مربعًا كاملًا، فلن يعلّم التعبير المُدخل على أنه ثلاثي مربع كامل.
إذا كان هناك عامل مشترك، فإخراجه خطوة جبرية منفصلة. هذه الحاسبة لا تعد بهذه المعالجة المسبقة.
هذه الحاسبة تختلف عن مربع ثنائي الحد العددي وعن إكمال المربع
تتعامل هذه الحاسبة مع معاملات كثيرة الحدود في ax²+bx+c. أما حاسبة مربع ثنائي الحد العددي فتحسب قيمًا مثل (a+b)² بأعداد فقط. وإكمال المربع عملية أخرى تُستخدم لتحويل أو حل معادلة تربيعية.
- مربع ثنائي الحد: حساب عددي لـ (a±b)².
- ثلاثي الحدود المربع الكامل: فحص ما إذا كان ax²+bx+c يساوي (px±q)².
- إكمال المربع: تحويل أو حل ax²+bx+c=0.
- المميّز: يفسر نوع الجذور، ولا يثبت متطابقة ثلاثي المربع الكامل مباشرة.
الإدخال هو التعبير ax²+bx+c. الجذور، الرسم البياني، وحل المعادلة ليست ضمن مخرجات هذه الحاسبة.
أسئلة شائعة
كيف أعرف أن ثلاثي الحدود مربع كامل؟
يجب أن يكون a وc مربعين صحيحين موجبين. إذا كان sqrt(a)=p وsqrt(c)=q، فيجب أن تكون |b| مساوية لـ 2pq. إشارة b تحدد إن كانت الصورة (px+q)² أو (px−q)².
ماذا لو كان يجب استخراج عامل مشترك أولًا؟
هذه الحاسبة لا تستخرج العامل المشترك قبل الفحص. قد يصبح التعبير مربعًا كاملًا بعد إخراج العامل، لكن runtime يفحص التعبير كما أدخلته.
ماذا يحدث إذا كان b سالبًا؟
إذا كانت |b| تساوي القيمة المتوقعة 2pq وكان b سالبًا، تظهر الصورة المحللة بإشارة ناقص: (px−q)².
ما معنى الحد الأوسط المتوقع؟
هو الحد الأوسط الذي يجب أن يظهر إذا كان التعبير مربعًا كاملًا بعد تحديد p وq من الحدين الأول والأخير. تقارنه الحاسبة مع الحد الحقيقي b·x.
هل تحل هذه الحاسبة المعادلات التربيعية؟
لا. هي تفحص متطابقة كثيرة حدود وتبنيها. لحساب الجذور استخدم حاسبة إكمال المربع أو أداة حل معادلات تربيعية.