حاسبة مربع ثنائي الحد مقدمة من Hesapstan لتوسيع (a+b)² و(a−b)² عندما تكون a و b قيمًا عددية. تعرض الحاسبة a²، والحد الأوسط ±2ab، وb²، ثم النتيجة المجمعة، بحيث يظهر الخطأ الشائع في اعتبار (a+b)² مساوية لـ a²+b² بوضوح.
مربع ثنائي الحد لا يكتمل من دون الحد الأوسط
مربع ثنائي الحد هو تربيع مجموع حدين أو الفرق بينهما. المتطابقتان الأساسيتان هما (a+b)²=a²+2ab+b² و(a−b)²=a²−2ab+b². وظيفة الحاسبة هي إظهار هذه الأجزاء الثلاثة بدل إخفاء الحد الأوسط داخل النتيجة النهائية.
(a+b)² لا تساوي a²+b². عند تربيع ثنائي الحد يظهر ضرب متبادل بين الحدين، وهذا الضرب هو ما ينتج الحد الأوسط 2ab.
تعمل الحاسبة بوضعين: (a+b)² و(a−b)²
اختر وضع الجمع لتوسيع (a+b)² أو وضع الطرح لتوسيع (a−b)². في الحالتين تبقى a و b أعدادًا مدخلة، وتطبّق الحاسبة المتطابقة المناسبة على هذه القيم.
- في وضع (a+b)² تكون الحدود: a² ثم +2ab ثم b².
- في وضع (a−b)² تكون الحدود: a² ثم −2ab ثم b².
- تعرض النتيجة سطر المتطابقة، والتعويض بالقيم، وكل حد منفصلًا، ثم النتيجة النهائية.
هنا a و b قيمتان عدديتان خام، وليستا معاملين في كثيرة حدود. إذا أردت توسيع صيغة مثل (px+q)² فأنت تحتاج أداة خاصة بكثيرات الحدود أو بثلاثي الحدود المربع الكامل.
مثال (a+b)² يوضح لماذا a²+b² نتيجة ناقصة
إذا كانت a=3 و b=4، فالتعبير (3+4)² يجب أن يوسّع على صورة a²+2ab+b². هذا المثال يبيّن مباشرة لماذا لا تكفي 3²+4².
- الحد الأول: a² = 3² = 9.
- الحد الأوسط: +2ab = 2×3×4 = 24.
- الحد الأخير: b² = 4² = 16.
- النتيجة: 9+24+16 = 49، وهي نفسها (3+4)² = 7² = 49.
3²+4²=25 تجمع الحد الأول والأخير فقط. النتيجة الصحيحة لـ (3+4)² هي 49 لأن الحد الأوسط 2ab يساوي 24.
في (a−b)² تتغير إشارة الحد الأوسط
في وضع الطرح تبقى البنية نفسها، لكن الحد الأوسط يكون سالبًا. مثلًا عند a=5 و b=2 يصبح (5−2)² مساويًا لـ 5²−2×5×2+2².
- الحد الأول: a² = 5² = 25.
- الحد الأوسط: −2ab = −2×5×2 = −20.
- الحد الأخير: b² = 2² = 4.
- النتيجة: 25−20+4 = 9، وهي نفسها (5−2)² = 3² = 9.
في وضع (a−b)²، إذا كانت a و b متساويتين فالنتيجة 0. ومع ذلك يبقى الحد الأوسط ظاهرًا؛ مثلًا (4−4)² تعطي 16−32+16=0.
تدعم الحاسبة الأعداد العشرية والسالبة، لكن الناتج عددي
يمكن إدخال أعداد صحيحة أو عشرية أو سالبة لقيم a و b. مثلًا عند a=1.5 و b=0.5 في وضع الجمع نحصل على 1.5²+2×1.5×0.5+0.5² = 2.25+1.5+0.25 = 4.
القيم السالبة تُعامل بقواعد الضرب العادية. مثلًا a=-3 و b=2 في وضع الجمع يعطيان (-3+2)² = (-1)² = 1.
تُحسب الأعداد العشرية بحسابات رقمية عادية، وقد تعرض الحاسبة النتيجة بصيغة مختصرة مع إزالة الأصفار غير الضرورية وتقريب آثار الفاصلة العائمة الصغيرة.
ترتبط هذه المتطابقة بطريقة FOIL لكنها ليست حاسبة FOIL العامة
مربع ثنائي الحد حالة خاصة من ضرب ثنائيي حد: (a+b)(a+b) أو (a−b)(a−b). هذه الحاسبة تركّز على متطابقة التربيع والحد الأوسط، ولا تعرض تسلسل FOIL العام خطوة بخطوة.
- طريقة FOIL توسّع حاصل ضرب ثنائيي حد عامين مثل (ax+b)(cx+d).
- أداة ثلاثي الحدود المربع الكامل تركّز على التعرف إلى صيغ كثيرة حدود مثل x²+6x+9.
- هذه الحاسبة توسّع فقط (a+b)² أو (a−b)² لقيم عددية.
- أدوات Ters FOIL أو طريقة الصندوق أنسب لتحليل ثلاثيات الحدود.
هذه الحاسبة لا تحل معادلات ولا تنتج توسيعًا رمزيًا لكثيرات الحدود
تقوم الحاسبة بتعويض قيم a و b العددية داخل المتطابقة المختارة فقط. لا تحل معادلات من نوع (a+b)²=c، ولا تبحث عن جذور، ولا تعطي ناتجًا رمزيًا يحتوي على متغيرات.
إذا أردت توسيع تعبير مثل (2x+3)² فالأداة المناسبة هي FOIL أو أداة ثلاثي الحدود المربع الكامل أو حاسبة كثيرة حدود مخصصة.
أسئلة شائعة
لماذا لا تساوي (a+b)² القيمة a²+b²؟
لأن (a+b)² تعني (a+b)(a+b). عند الضرب يظهر حدان من نوع ab، ومجموعهما هو الحد الأوسط 2ab.
هل يمكن إدخال أعداد سالبة؟
نعم. يمكن أن تكون a أو b سالبة، وتُحسب a² و±2ab وb² وفق قواعد الإشارات المعتادة.
هل تدعم الحاسبة الأعداد العشرية؟
نعم. يمكن إدخال قيم مثل 1.5 أو 0.5، وتعرض الحاسبة نتيجة عددية مختصرة قدر الإمكان.
ما الفرق بينها وبين أداة ثلاثي الحدود المربع الكامل؟
هذه الحاسبة تستخدم قيمًا عددية لـ a و b لحساب (a±b)². أما أداة ثلاثي الحدود المربع الكامل فتركّز على صيغ كثيرة الحدود مثل x²+6x+9.
متى أستخدم حاسبة FOIL بدلًا من هذه الحاسبة؟
استخدم FOIL عندما يكون لديك حاصل ضرب ثنائيي حد عامين مثل (2x+3)(4x−5). أما هنا فالاستخدام مخصص لمربع مجموع أو فرق حدين فقط.