حاسبة طريقة FOIL مقدمة من Hesapstan لتوسيع حاصل ضرب حدّين ثنائيين على الصورة (ax+b)(cx+d). تعرض الحاسبة خطوات الأول والخارجي والداخلي والأخير، ثم تجمع الحدود الوسطى وتعرض الناتج المبسّط. هذه ليست حاسبة ضرب كثيرات حدود عامة، ولا أداة تحليل إلى عوامل أو رسم بياني أو معالجة معاملات رمزية.
طريقة FOIL تقسم ضرب حدّين ثنائيين إلى أربع ضربات
FOIL اختصار إنجليزي لـ First, Outer, Inner, Last. في الشرح العربي يمكن قراءته على أنه: الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير. الفكرة هي ضرب كل زوج محدد من الحدود في حاصل ضرب حدّين ثنائيين.
في (ax+b)(cx+d)، الحدّان الأولان يعطيان ac·x²، والحدان الخارجيان يعطيان ad·x، والحدان الداخليان يعطيان bc·x، والحدان الأخيران يعطيان bd. بعد جمع الحدين الأوسطين يصبح الناتج acx²+(ad+bc)x+bd.
طريقة FOIL ليست قانونًا منفصلًا عن الجبر؛ هي ترتيب عملي لاستخدام خاصية التوزيع عندما يكون كل عامل مكوّنًا من حدّين فقط.
هذه الحاسبة تعرض كل خطوة من خطوات FOIL على حدة
تطلب الحاسبة أربعة معاملات رقمية: a و b للحدّ الثنائي الأول، و c و d للحدّ الثنائي الثاني. بعد ذلك تعرض التعبير، ثم كل سطر من F/O/I/L، ثم تجمع الحدود الوسطى وتعرض الصورة النهائية.
- أدخل القيم الرقمية للمعاملات a و b و c و d.
- تحقق من معاينة التعبير (ax+b)(cx+d).
- اقرأ F للضرب الأول ac·x².
- اقرأ O و I للحدين الأوسطين ad·x و bc·x.
- اقرأ L للحد الثابت bd.
- اجمع الحدين الأوسطين للتحقق من الناتج acx²+(ad+bc)x+bd.
واجهة الحاسبة مبنية على معاملات. هي لا تحلل أي نص جبري تكتبه، بل تنشئ الصورة المدعومة (ax+b)(cx+d) من أربعة مدخلات رقمية مطلوبة.
مثال كامل يوضح ترتيب FOIL
لنوسّع (2x+3)(4x−5). هنا a=2 و b=3 و c=4 و d=−5.
- F — الأول: (2x)(4x)=8x².
- O — الخارجي: (2x)(−5)=−10x.
- I — الداخلي: 3(4x)=12x.
- L — الأخير: 3(−5)=−15.
- نجمع الحدين الأوسطين: −10x+12x=2x.
- الناتج النهائي: 8x²+2x−15.
في هذه الصورة القياسية يكون الحد الخارجي والحد الداخلي كلاهما من حدود x. لذلك هما حدان متشابهان، ونجمع معامليهما للحصول على الحد الأوسط.
فرق المربعين هو الحالة التي تختفي فيها الحدود الوسطى
عندما يكون التعبير على صورة (x+a)(x−a)، تظهر الحدود الخارجية والداخلية بإشارتين متعاكستين. لذلك تلغي إحداهما الأخرى، ويبقى الناتج x²−a².
مثال: (x+2)(x−2) يعطي F=x² و O=−2x و I=2x و L=−4. وبما أن −2x+2x=0، يكون الناتج x²−4.
طريقة FOIL تعطي غالبًا ثلاثي حدود، لكن إذا اختفى الحد الأوسط فقد يظهر الناتج بحدين فقط، وهذا طبيعي في نمط فرق المربعين.
توسيع FOIL والتحليل إلى عوامل اتجاهان مختلفان
هذه الحاسبة تبدأ من حاصل ضرب حدّين ثنائيين وتوسّعه إلى كثيرة حدود. أما إذا كان لديك تعبير مثل 8x²+2x−15 وتريد إعادته إلى حاصل ضرب حدّين ثنائيين، فأنت تحتاج إلى أداة تحليل أو FOIL عكسية.
- اتجاه FOIL: (2x+3)(4x−5) → 8x²+2x−15.
- الاتجاه العكسي: 8x²+2x−15 → (2x+3)(4x−5).
- هذه الصفحة للتوسيع، لا لتحليل الناتج إلى عوامل.
FOIL مقصور على ضرب حدين ثنائيين فقط
الصورة المدعومة هي (ax+b)(cx+d) فقط. التعابير التي تحتوي على ثلاثة حدود في أحد العاملين، أو حد x² داخل أحد العاملين، أو معاملات رمزية، أو ضرب كثيرات حدود عامة ليست ضمن نطاق هذه الحاسبة.
تعابير مثل (x+1+2)(x−3) أو (x²+1)(x+2) لا تناسب حقول هذه الحاسبة. هذه الحالات تحتاج إلى استخدام خاصية التوزيع بشكل أعم.
أما المعاملات التي تساوي صفرًا فهي مقبولة. مثلًا إذا كان b=0 يصبح الحد الثنائي الأول ax، ويمكن للحاسبة أن تعرض الناتج بعد حذف الحدود الصفرية.
الناتج الموسّع يقود أحيانًا إلى أدوات جبرية أخرى
بعد تطبيق FOIL يكون الناتج غالبًا كثيرة حدود تربيعية. قد تحتاج بعد ذلك إلى جمعها مع كثيرة حدود أخرى، أو تحليلها، أو معرفة نوع جذورها باستخدام المميّز.
- استخدم جمع وطرح كثيرات الحدود إذا أردت دمج الناتج مع تعبير آخر.
- استخدم FOIL العكسية إذا أردت تحليل ثلاثي الحدود إلى حدّين ثنائيين.
- استخدم حاسبة المميّز لمعرفة نوع جذور التعبير التربيعي الناتج.
- استخدم إكمال المربع إذا أردت طريقة تربيعية أخرى خطوة بخطوة.
أسئلة شائعة
ما معنى FOIL؟
FOIL اختصار لـ First, Outer, Inner, Last، أي الأول والخارجي والداخلي والأخير في ضرب حدّين ثنائيين.
ما الصيغة التي تدعمها هذه الحاسبة؟
تدعم الصيغة (ax+b)(cx+d) فقط، عبر أربعة مدخلات رقمية هي a و b و c و d.
لماذا تعمل FOIL مع الحدّين الثنائيين فقط؟
لأن الاختصار يحسب أربع ضربات بين تعبيرين، كل واحد منهما يحتوي على حدّين. عند وجود حدود أكثر نحتاج إلى خاصية التوزيع العامة.
لماذا نجمع الحدود الخارجية والداخلية؟
لأنهما في هذه الصيغة يكونان غالبًا حدين من نوع x، أي حدين متشابهين، لذلك نجمع معامليهما.
لماذا يصبح (x+2)(x−2) مساويًا لـ x²−4؟
لأن الحدين الأوسطين −2x و 2x يتلاشيان، فيبقى x²−4، وهو نمط فرق مربعين.
هل تحلل هذه الحاسبة ثلاثي الحدود؟
لا. هذه الحاسبة توسّع حاصل ضرب حدّين ثنائيين. التحليل إلى عوامل هو العملية العكسية.
هل تدعم المعاملات السالبة؟
نعم، يمكن إدخال معاملات سالبة، وتظهر الإشارات في كل خطوة حسب القيم المدخلة.
هل يكون الناتج دائمًا ثلاثي حدود؟
لا. إذا اختفت الحدود الوسطى أو بعض الحدود الأخرى، فقد يكون الناتج بحدين أو حد واحد أو حتى صفرًا.