حاسبة المعامل الثنائي مقدمة من Hesapstan لحساب C(n,k)، أي اختيار k من n، كعدد صحيح دقيق عندما يكون 0 ≤ k ≤ n ≤ 1000. هذه الحاسبة لا تحسب احتمال ثنائي الحدين P(X=k)، بل تحسب المعامل نفسه المستخدم في التوافيق ومثلث باسكال ونظرية ذات الحدين.
C(n,k) يعبّر عن عدد طرق اختيار k عناصر من n دون ترتيب
المعامل الثنائي C(n,k)، ويُقرأ أيضًا اختيار k من n، يعطي عدد الطرق الممكنة لاختيار k عناصر من n عناصر مختلفة عندما لا يهم ترتيب العناصر المختارة. القيمة نفسها تظهر في التوافيق، وفي معاملات مفكوك ذات الحدين، وفي صفوف مثلث باسكال.
قيمة C(n,k) هي عدد التوافيق. هذه الصفحة تحسب المعامل نفسه فقط؛ لا تدخل قيمة احتمال p، ولا متغيرًا عشوائيًا X، ولا تحسب توزيع ثنائي الحدين.
يمكن قراءة القانون بصيغة المضروب أو بصيغة الضرب المختصرة
الصيغة الأساسية هي C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). وتعرض الحاسبة أيضًا صيغة الضرب المختصرة: (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!. هذه الصيغة أوضح عمليًا عند القيم الكبيرة لأنها لا تحتاج إلى توسيع كل المضروبات كاملة.
تستخدم الحاسبة حسابات BigInt للأعداد الصحيحة، لذلك تُعرض القيم الكبيرة مثل C(1000,500) كعدد صحيح دقيق، لا كتقريب عشري ولا بصيغة علمية مختصرة.
خاصية التماثل تختصر الحساب ولا تغيّر النتيجة
في المعاملات الثنائية لدينا C(n,k) = C(n,n−k). لذلك C(20,18) تساوي C(20,2)، والنتيجة في الحالتين 190. عندما تكون k أكبر من n−k، تستخدم الحاسبة هذه الخاصية وتعرض ملاحظة بذلك حتى يكون الاختصار واضحًا.
يجب أن يكون n و k عددين صحيحين غير سالبين، ويجب ألا تكون k أكبر من n، ويجب ألا يتجاوز n القيمة 1000. تُرفض القيم السالبة والعشرية وحالة k > n.
صف باسكال يظهر فقط عندما تكون n صغيرة
الصف رقم n في مثلث باسكال يتكوّن من C(n,0), C(n,1), …, C(n,n). لذلك تعرض الحاسبة صف باسكال عندما تكون n ≤ 12 كطريقة بصرية للتحقق. أما عند القيم الأكبر فيصبح الصف طويلًا جدًا، فلا يُعرض داخل الواجهة.
C(52,5) = 2,598,960. هذه القيمة تمثل عدد طرق اختيار 5 عناصر من 52 دون ترتيب؛ وهي ليست احتمالًا بحد ذاتها.
مثال محلول: C(10,3) = 120
لإيجاد عدد طرق اختيار 3 عناصر دون ترتيب من 10 عناصر مختلفة نحسب C(10,3).
- صيغة المضروب: C(10,3) = 10! / (3! × 7!)
- صيغة الضرب المختصرة: (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1)
- البسط: 10 × 9 × 8 = 720
- المقام: 3! = 6
- النتيجة: 720 / 6 = 120
بدلًا من حساب C(20,18) مباشرة نستخدم التماثل: C(20,18) = C(20,20−18) = C(20,2) = (20×19) / (2×1) = 190. هذا الاختصار مفيد جدًا عندما تكون k كبيرة.
المعاملات الثنائية تظهر كمعاملات في مفكوك ذات الحدين
في مفكوك (a+b)^n، معامل الحد a^k · b^(n−k) هو بالضبط C(n,k). مثلًا مفكوك (a+b)^3 يعطي المعاملات C(3,0)=1 وC(3,1)=3 وC(3,2)=3 وC(3,3)=1. هذه القيم هي نفسها أعداد الصف الثالث من مثلث باسكال.
هي تحسب قيمة C(n,k) فقط. التفكيك الجبري لـ (a+b)^n وحساب احتمال ثنائي الحدين P(X=k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k) خارج نطاق هذه الصفحة.
أسئلة شائعة
هل تحسب هذه الأداة احتمال ثنائي الحدين؟
لا. هذه الحاسبة تحسب C(n,k) فقط. احتمال ثنائي الحدين يحتاج أيضًا إلى p^k و(1−p)^(n−k)، وهذه ليست ضمن runtime هذه الحاسبة.
هل المعامل الثنائي هو نفسه التوافيق؟
القيمة C(n,k) هي عدد التوافيق. في العد تعني اختيار k من n، وفي الجبر تظهر كمعامل في مفكوك ذات الحدين.
ما المجال المدعوم لـ n و k؟
تقبل الحاسبة الأعداد الصحيحة التي تحقق 0 ≤ k ≤ n ≤ 1000. القيم السالبة والعشرية وحالة k > n مرفوضة.
لماذا تظهر النتيجة كعدد صحيح دقيق؟
لأن runtime يستخدم BigInt في الحسابات الصحيحة، فتُعرض النتيجة كسلسلة عددية دقيقة دون تقريب floating-point.
لماذا C(n,0) و C(n,n) تساويان 1؟
لأن هناك طريقة واحدة لاختيار لا شيء من n عناصر، وطريقة واحدة لاختيار كل العناصر.
ماذا تعني ملاحظة التماثل؟
تعني أن الحاسبة استخدمت العلاقة C(n,k) = C(n,n−k) لتقليل حجم الحساب دون تغيير النتيجة.
لماذا لا يظهر صف باسكال دائمًا؟
لأن صفوف باسكال تكبر بسرعة مع زيادة n. لذلك يعرض runtime الصف فقط عندما تكون n ≤ 12.
هل تدعم الحاسبة المعاملات متعددة الحدود؟
لا. المعاملات متعددة الحدود أو اختيار مجموعات متعددة خارج نطاق هذه الحاسبة.