Hesapstan tarafından hazırlanan Binom Katsayısı Hesaplama aracı, 0 ≤ k ≤ n ≤ 1000 koşulunda C(n,k) değerini BigInt ile tam sayı olarak hesaplar. Bu araç binom olasılığı P(X=k) hesaplamaz; yalnızca binom katsayısını, yani n öğeden k öğe seçmenin kombinasyon sayısını verir.
Binom katsayısı C(n,k), n öğeden k seçim sayısını verir
Binom katsayısı, C(n,k) veya n choose k olarak yazılır. Matematiksel olarak n farklı öğeden k tanesini sıralamaya bakmadan seçmenin kaç yolu olduğunu gösterir. Bu nedenle kombinasyon formülüyle aynıdır, ancak binom teoremi ve Pascal üçgeni bağlamında genellikle binom katsayısı adıyla kullanılır.
C(n,k), kombinasyon sayısıdır. Bu sayfa C(n,k) değerini ve katsayı biçimlerini gösterir; olasılık dağılımı, p değeri veya P(X=k) hesabı yapmaz.
Formül faktöriyel gösterim ve indirgenmiş çarpım olarak okunur
Temel formül C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) şeklindedir. Hesaplayıcı bu formülü sembolik olarak gösterir ve büyük sayılarda daha pratik olan indirgenmiş çarpım yapısını da verir: (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!.
İndirgenmiş çarpım, aynı değeri daha az ara adımla hesaplamaya yardım eder. Runtime sonucu BigInt ile tam sayı olarak hesapladığı için sonuç bilimsel gösterime yuvarlanmaz.
Simetri k büyük olduğunda hesabı kısaltır
Binom katsayısında C(n,k) = C(n,n−k) eşitliği vardır. Örneğin C(20,18), C(20,2) ile aynıdır ve sonuç 190 olur. Hesaplayıcı k > n−k olduğunda bu simetriyi kullanır ve kullanıcıya not olarak gösterir.
n ve k negatif olamaz, ondalık olamaz ve k değeri n'den büyük olamaz. Runtime yalnızca 0 ≤ k ≤ n ≤ 1000 aralığındaki tam sayıları kabul eder.
Pascal üçgeni küçük n değerleri için kontrol sağlar
Pascal üçgeninin n'inci satırı C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) katsayılarını verir. Bu hesaplayıcı n ≤ 12 olduğunda Pascal satırını da gösterir. Büyük n değerlerinde satır çok genişleyeceği için bu görsel kontrol gösterilmez.
C(52,5) = 2.598.960 değeridir. Bu örnek, 52 öğeden 5 öğeyi sırasız seçme sayısını gösterir; herhangi bir olasılık p değeri içermez.
Adım adım çalışılmış örnek: C(10,3) = 120
10 farklı öğeden 3 tanesini sırasız seçmenin kaç yolu olduğunu bulmak için C(10,3) hesaplanır.
- Faktöriyel formül: C(10,3) = 10! / (3! × 7!)
- İndirgenmiş çarpım: (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1)
- Pay: 10 × 9 × 8 = 720
- Payda: 3! = 6
- Sonuç: 720 / 6 = 120
C(20,18) doğrudan hesaplamak yerine simetri kullanılır: C(20,18) = C(20,20−18) = C(20,2) = (20×19) / (2×1) = 190. Büyük k değerlerinde bu kısaltma işlemi önemli ölçüde basitleştirir.
Binom katsayısı binom açılımında katsayı olarak görünür
(a+b)^n açılımında a^k · b^(n−k) teriminin katsayısı tam olarak C(n,k)'dır. Örneğin (a+b)^3 açıldığında katsayılar C(3,0)=1, C(3,1)=3, C(3,2)=3, C(3,3)=1 olur. Bu katsayılar Pascal üçgeninin 3. satırıyla aynıdır.
Bu hesaplayıcı yalnızca C(n,k) değerini hesaplar. (a+b)^n gibi cebirsel açılımlar ve binom olasılığı P(X=k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k) bu sayfanın kapsamı dışındadır.
Sık Sorulan Sorular
Bu hesaplayıcı binom olasılığı hesaplar mı?
Hayır. Bu araç yalnızca C(n,k) binom katsayısını hesaplar. Binom olasılığı için C(n,k) yanında p^k ve (1−p)^(n−k) terimleri de gerekir; bunlar bu runtime içinde yoktur.
Binom katsayısı ile kombinasyon aynı şey mi?
C(n,k) değeri kombinasyon sayısıdır. Kombinasyon bağlamında seçim sayısını, binom teoremi bağlamında ise açılımdaki katsayıyı temsil eder.
n ve k hangi aralıkta olabilir?
Runtime 0 ≤ k ≤ n ≤ 1000 aralığındaki tam sayıları kabul eder. Negatif, ondalık veya k > n olan girişler reddedilir.
Sonuç neden tam sayı olarak veriliyor?
Binom katsayısı tam sayıdır. Hesaplayıcı BigInt kullandığı için büyük sonuçları bilimsel gösterime yuvarlamadan tam sayı dizgesi olarak verir.
C(n,0) ve C(n,n) neden 1 olur?
n öğeden hiçbirini seçmenin bir yolu vardır; hepsini seçmenin de bir yolu vardır. Bu yüzden C(n,0) = 1 ve C(n,n) = 1 olur.
Simetri notu ne anlama gelir?
C(n,k) = C(n,n−k) olduğu için, k büyükse hesap daha küçük olan n−k üzerinden yapılabilir. Sonuç değişmez.
Pascal satırı neden her zaman gösterilmiyor?
Pascal satırı n büyüdükçe çok uzar. Bu nedenle runtime satırı yalnızca n ≤ 12 için gösterir.
Bu araç multinom katsayısı hesaplar mı?
Hayır. Multinom katsayıları ve birden fazla grup seçimi bu hesaplayıcının kapsamında değildir.