حاسبة الجذور المركبة مقدمة من Hesapstan لحساب كل الجذور النونية لعدد مركب مُدخل بالصورة الجبرية أو القطبية. لا تكتفي الحاسبة بالجذر الرئيسي، بل تعرض الجذور كلها من k=0 إلى k=n−1 بالصورة القطبية والصورة الجبرية التقريبية.
ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تحسب هذه الأداة حلول المعادلة w^n = z عندما يكون z عددًا مركبًا. في الأعداد المركبة، مسألة الجذر النوني تعطي عادة n جذور، لذلك فالاكتفاء بجذر واحد قد يكون مضللًا إذا كان المطلوب هو مجموعة الجذور كاملة.
- يمكن إدخال z بالصورة الجبرية a+bi.
- يمكن إدخال z بالصورة القطبية عبر r والزاوية θ بالدرجات.
- يجب أن يكون n عددًا صحيحًا بين 2 و20.
- تعرض الحاسبة كل جذر بالصورة القطبية والجبرية.
- تُظهر الجذور على دائرة توضيحية لفهم توزيعها.
إذا أدخلت n=5 فستعرض الحاسبة خمسة جذور. هذا مهم لأن بعض الأدوات أو الدوال البرمجية تعرض الجذر الرئيسي فقط.
كيف تُحسب الجذور النونية لعدد مركب؟
أسهل طريقة لفهم الجذور المركبة هي الصورة القطبية. إذا كان z = r cis(θ)، فإن مقدار كل جذر هو r^(1/n)، أما زاويته فهي (θ + 360°·k) / n حيث يأخذ k القيم 0، 1، 2، ...، n−1.
- إذا كان الإدخال جبريًا، تُستخرج قيمة المقدار والزاوية أولًا.
- يُحسب مقدار الجذر: r^(1/n).
- تُضاف 360°·k إلى الزاوية لكل قيمة من k.
- تُقسم الزاوية المعدلة على n.
- تُحوَّل كل نتيجة من الصورة القطبية إلى الصورة الجبرية.
تستخدم الحاسبة حسابات مثلثية وأعدادًا عائمة، لذلك تُعد القيم الجبرية المعروضة تقريبية. فروق التقريب الصغيرة أمر طبيعي.
الإدخال الجبري والإدخال القطبي
الصورة الجبرية تكتب العدد المركب على شكل a+bi، أي جزء حقيقي وجزء تخيلي. أما الصورة القطبية فتصف العدد بمقدار r وزاوية θ. لأن قانون الجذور يعتمد على الصورة القطبية، يكون الإدخال القطبي مباشرًا عندما تعرف المقدار والزاوية مسبقًا.
- في الإدخال الجبري تكتب a وb، والحاسبة تستنتج المقدار والزاوية.
- في الإدخال القطبي تكتب r وθ مباشرة، ولا تقبل الحاسبة r السالب.
- إذا مثّلت الصورتان النقطة نفسها فستعطيان الجذور نفسها.
- الزاوية تُدخل بالدرجات لا بالراديان.
قد يمثل r السالب النقطة نفسها بعد تعديل الزاوية، لكن الحاسبة تعتمد الصيغة القطبية القياسية r≥0 حتى لا يصبح الإدخال ملتبسًا.
مثال: الجذور الرابعة للعدد 16
عند z = 16 + 0i و n = 4 يكون مقدار كل جذر هو 16^(1/4) = 2. الزوايا تكون 0° و90° و180° و270°، لذلك تكون الجذور 2 و2i و−2 و−2i.
- أدخل z بالصورة 16 + 0i.
- اختر n = 4.
- تولّد الحاسبة الجذور للأرقام k=0 و1 و2 و3.
- كل الجذور لها المقدار نفسه.
- تظهر النتائج الجبرية تقريبًا: 2+0i، 0+2i، −2+0i، 0−2i.
كل الجذور لها المقدار نفسه، وتفصل بينها زوايا متساوية مقدارها 360°/n، لذلك تتوزع بانتظام على دائرة مركزها الأصل.
الجذر الرئيسي أم كل الجذور؟
الجذر الرئيسي هو جذر مختار وفق اصطلاح معين، لكنه ليس كل الحلول. المعادلة w^n = z تمتلك n حلولًا مركبة، وهذه الحاسبة مصممة لعرض المجموعة الكاملة.
- قد تعطي بعض الدوال البرمجية جذرًا رئيسيًا واحدًا فقط.
- مجموعة الجذور الكاملة تستخدم كل قيم k من 0 إلى n−1.
- في حل المعادلات، الاقتصار على الجذر الرئيسي قد يحذف حلولًا صحيحة.
- الرسم الدائري يساعد على رؤية التماثل بين الجذور.
إذا كان السؤال عن الجذور النونية للعدد المركب، فالغالب أن المطلوب هو كل الجذور، لا الجذر الرئيسي فقط.
الحدود والاستخدام الصحيح
هذه الحاسبة أداة عددية لحساب جذور عدد مركب محدد. لا تعمل كحلال رمزي عام ولا كأداة لإثبات العلاقات الجبرية.
- يجب أن يكون n عددًا صحيحًا بين 2 و20.
- حد n≤20 يحافظ على قابلية قراءة جدول النتائج والرسم، ويتسق مع حدود الجذور في المشروع.
- لا تقبل الصورة القطبية مقدارًا r سالبًا.
- النتائج عددية تقريبية.
- الرسم على الدائرة توضيحي وليس أداة رسم دقيقة للقياس.
أسئلة شائعة
هل تعرض الحاسبة كل الجذور المركبة؟
نعم. تعرض كل الجذور من k=0 إلى k=n−1، ولا تكتفي بالجذر الرئيسي.
لماذا n محدود بـ 20؟
للحفاظ على وضوح جدول النتائج والرسم، وللاتساق مع حدود الجذور المعتمدة في المشروع.
هل يمكن إدخال r سالب في الصورة القطبية؟
لا. تستخدم الحاسبة الصيغة القياسية r≥0 وترفض r السالب.
هل النتائج دقيقة تمامًا؟
النتائج تقريبية لأنها تعتمد على حسابات مثلثية وأعداد عائمة. فروق التقريب الصغيرة طبيعية.
هل تحل هذه الأداة المعادلات المركبة العامة؟
لا. تحسب الجذور النونية لعدد مركب z فقط، ولا تحل كثيرات الحدود أو المعادلات المركبة العامة.