حاسبة الأعداد المركبة مقدمة من Hesapstan لحساب العمليات الأساسية بين z₁ وz₂، ولعرض الصيغة القطبية والمعيار والوسيطة والمرافق واللوغاريتم الأساسي والقوى الصحيحة للعدد z₁.
ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تتعامل الحاسبة مع العدد المركب بصيغة a+bi. عند إدخال عددين يمكن حساب الجمع والطرح والضرب والقسمة. وعند فحص z₁ وحده يمكن عرض الصيغة القطبية والمعيار والوسيطة والمرافق، إضافة إلى Log(z) الأساسي والقوى الصحيحة.
- العمليات الثنائية: الجمع والطرح والضرب والقسمة.
- معلومات عدد واحد: الصيغة الجبرية، الصيغة القطبية، المعيار، الوسيطة، والمرافق.
- أوضاع إضافية: القيمة الأساسية للوغاريتم Log(z₁) والقوة الصحيحة z₁^n.
- تمنع الحاسبة القسمة على z₂=0 برسالة واضحة.
- الأسس الكسرية أو المركبة وكل فروع اللوغاريتم ليست ضمن نطاق هذه الحاسبة.
هذه ليست حاسبة جبر رمزي عامة. هي أداة للعمليات الشائعة على الأعداد المركبة كما يدعمها runtime الفعلي.
كيف نقرأ العدد المركب؟
يكتب العدد المركب عادة على الشكل z=a+bi. يمثل a الجزء الحقيقي، ويمثل b معامل الجزء التخيلي، أما i فهي الوحدة التخيلية التي تحقق i²=−1.
يمكن النظر إلى العدد المركب كنقطة أو متجه في المستوى المركب. الصيغة الجبرية تعرض المركبتين الحقيقية والتخيلية، أما الصيغة القطبية فتعرض المسافة عن الأصل والزاوية.
تبقى الرموز z₁ وz₂ وa وb وi بصيغة لاتينية رياضية في كل اللغات حتى لا تنقلب قراءة المعادلات داخل الصفحة العربية.
كيف تعمل العمليات الأساسية؟
الجمع والطرح يتمان بمركبة مع مركبة. في الضرب نستخدم التوزيع ثم نعوض i² بالقيمة −1. في القسمة نستخدم مرافق المقام حتى يصبح المقام عددًا حقيقيًا.
- في الجمع نجمع الجزأين الحقيقيين ومعاملي i كلًا على حدة.
- في الطرح نطرح مركبات z₂ من مركبات z₁.
- في الضرب نوزع الحدود ثم نستخدم i²=−1.
- في القسمة نضرب في مرافق z₂، بشرط ألا يكون z₂ هو الصفر المركب.
إذا كان z₂=0+0i فإن z₁/z₂ غير معرّف. لذلك لا تعرض الحاسبة نتيجة تبدو طبيعية في هذه الحالة، بل تمنع العملية برسالة واضحة.
الصيغة القطبية والمعيار والوسيطة
المعيار هو بُعد العدد المركب عن الأصل. الوسيطة هي الزاوية المقاسة من المحور الحقيقي الموجب. الصيغة القطبية مفيدة جدًا لفهم الضرب والقسمة والجذور والقوى واللوغاريتم.
- المعيار |z| لا يكون سالبًا.
- تعرض الوسيطة بالراديان وبالدرجات.
- الصيغة القطبية تصف العدد نفسه عن طريق المسافة والزاوية.
- هذه القيم قد تظهر كتقريبات عددية.
حساب المعيار والوسيطة واللوغاريتم وبعض القوى يعتمد على حسابات عددية، لذلك قد تظهر فروق تقريب صغيرة.
Log(z) الأساسي والقوى الصحيحة
اللوغاريتم المركب مفهوم متعدد القيم. هذه الحاسبة تعرض فقط القيمة الأساسية principal value لـ Log(z)، ولا تعرض كل الفروع الممكنة.
وضع القوة يقبل الأسس الصحيحة فقط، ويجب أن يكون n بين −50 و50. هذا يمنع الخلط مع الأسس الكسرية أو المركبة التي تحتاج معالجة متعددة الفروع.
إذا كنت تبحث عن كل فروع اللوغاريتم المركب أو عن قوة ذات أس مركب أو كسري، فهذه الحاسبة أضيق عمدًا من ذلك. نطاقها هو Log(z) الأساسي والقوى الصحيحة فقط.
أمثلة عملية
مثال 1: إذا كان z₁=3+2i وz₂=1−4i، فإن z₁+z₂=4−2i. جمعنا الجزأين الحقيقيين ثم جمعنا معاملي i.
مثال 2: إذا كان z₁=2+i وz₂=1−i، فإن الضرب يعطي (2+i)(1−i)=3−i بعد استخدام i²=−1.
مثال 3: عند z₁=3+4i يكون المعيار 5، وتكون الوسيطة تقريبًا 53.13 درجة. هذا يوضح الانتقال من الصيغة الجبرية إلى الصيغة القطبية.
مثال 4: في وضع Log(z) الأساسي تعرض الحاسبة قيمة أساسية واحدة فقط، ولا ينبغي فهمها على أنها جميع قيم اللوغاريتم المركب.
الفرق عن الحاسبات القريبة
هذه الصفحة هي الأداة العامة لعمليات الأعداد المركبة. إذا كنت تريد المرافق فقط أو z×z̄ فهناك حاسبة أضيق. وإذا أردت جميع الجذور النونية فحاسبة الجذور المركبة أنسب.
- حاسبة المرافق المركب: مناسبة عند الحاجة إلى z̄ وz×z̄ فقط.
- حاسبة الجذور المركبة: تعرض كل الجذور النونية للعدد المركب.
- حاسبة قوى i: مخصصة لدورة i^n فقط.
- حاسبة الكواتيرنيونات: تتعامل مع بنية أكبر من الشكل a+bi+cj+dk.
أخطاء شائعة وحدود الحاسبة
- نسيان أن i² تساوي −1.
- محاولة القسمة على 0+0i.
- التعامل مع الوسيطة كأن اختيار الفرع لا يهم إطلاقًا.
- اعتبار Log(z) الأساسي جميع قيم اللوغاريتم المركب.
- إدخال أس كسري أو مركب مع أن الحاسبة تدعم القوى الصحيحة فقط.
العمليات الأساسية تتبع صيغًا دقيقة، لكن المعيار والوسيطة واللوغاريتم وبعض نتائج القوى يجب فهمها كتقريبات عددية.
أسئلة شائعة
ما العمليات التي تدعمها حاسبة الأعداد المركبة؟
تدعم الجمع والطرح والضرب والقسمة، وتعرض الصيغة القطبية والمعيار والوسيطة والمرافق وLog(z) الأساسي والقوى الصحيحة.
كيف تتم قسمة عددين مركبين؟
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام حتى يصبح المقام حقيقيًا، بشرط ألا يكون المقام هو الصفر المركب.
ما معنى Log(z) الأساسي؟
هو القيمة الأساسية المختارة للوغاريتم المركب. الحاسبة لا تعرض جميع الفروع الممكنة للوغاريتم.
هل تدعم الحاسبة الأسس الكسرية أو المركبة؟
لا. وضع القوة يدعم الأسس الصحيحة فقط ضمن المجال من −50 إلى 50.
هل المعيار والوسيطة نتائج دقيقة؟
غالبًا تعرض كقيم عددية تقريبية لأن الحساب يتضمن جذورًا وزوايا ودوالًا مثلثية.