ماذا تحسب هذه الحاسبة؟

تحسب هذه الحاسبة العمليات الأساسية على الكواتيرنيونات، إضافة إلى وضع خاص لتدوير متجه ثلاثي الأبعاد. يُكتب الكواتيرنيون عادة على صورة a+bi+cj+dk، حيث a هو الجزء الحقيقي، وb وc وd هي معاملات الاتجاهات i وj وk.

• q1+q2 وq1−q2: جمع وطرح بحسب كل مركبة.
• q1×q2: ضرب هاميلتون، وهو ضرب يعتمد على الترتيب.
• المرافق والمعيار والمعكوس: عمليات تُطبّق على q1.
• q1÷q2: تُفهم على أنها q1×q2⁻¹، لذلك لا يجوز أن يكون q2 كواتيرنيونًا صفريًا.
• وضع التدوير: تدوير متجه ثلاثي الأبعاد بواسطة q1 بعد التأكد من أنه كواتيرنيون وحدة أو تطبيعه مع إظهار تنبيه.

ما هو الكواتيرنيون؟

الكواتيرنيون بنية عددية تتكوّن من جزء حقيقي وثلاثة اتجاهات تخيلية. إذا كانت الأعداد المركبة تُكتب مثل a+bi، فإن الكواتيرنيون يضيف الاتجاهين j وk ليصبح a+bi+cj+dk.

الفرق المهم أن وحدات i وj وk لها قواعد ضرب خاصة. مثلًا i×j=k، لكن j×i=−k. لذلك لا يمكن التعامل مع ضرب الكواتيرنيونات كضرب عادي يمكن فيه تبديل الطرفين بلا أثر.

• الجزء الحقيقي: a.
• مركبة i: b.
• مركبة j: c.
• مركبة k: d.
• الجزء المتجهي: bi+cj+dk.

كيف يعمل ضرب هاميلتون؟

ضرب هاميلتون هو القاعدة القياسية لضرب الكواتيرنيونات. تجمع الحاسبة مركبات q1 وq2 وفق علاقات i وj وk، ثم تعرض الناتج مرة أخرى بصيغة a+bi+cj+dk.

1. تُستخدم المركبة الحقيقية والمركبات التخيلية معًا.
2. تُطبّق العلاقات i²=j²=k²=−1.
3. تُحفظ اتجاهات i×j=k وj×k=i وk×i=j.
4. عند عكس ترتيب الضرب قد تتغير الإشارات، لذلك قد تتغير النتيجة.

المرافق والمعيار والمعكوس والقسمة

مرافق الكواتيرنيون يغيّر إشارات المركبات التخيلية فقط. أما المعيار فيعبّر عن مقدار الكواتيرنيون. ويُحسب المعكوس اعتمادًا على المرافق ومربع المعيار، ولا يكون موجودًا عندما يكون الكواتيرنيون صفريًا.

• المرافق: يحوّل a+bi+cj+dk إلى a−bi−cj−dk.
• المعيار: قيمة حقيقية تعبّر عن الحجم وتُعرض تقريبية عند الحاجة.
• المعكوس: q⁻¹، ولا يُحسب للكواتيرنيون الصفري.
• القسمة: q1÷q2 تعني q1×q2⁻¹، وليست قسمة كل مركبة على نظيرتها.

تدوير متجه ثلاثي الأبعاد

في وضع التدوير، يُعامل المتجه v=(x,y,z) ككواتيرنيون صرف، ثم يُستخدم التعبير q v q⁻¹ للحصول على المتجه بعد التدوير. هذه هي الفكرة القياسية لتدوير المتجهات باستخدام كواتيرنيون وحدة.

إذا لم يكن q1 كواتيرنيون وحدة، تقوم الحاسبة بتطبيعه أولًا وتعرض تنبيهًا بذلك. هذا يمنع تأثير الطول على نتيجة الدوران، وفي الوقت نفسه لا يخفي عن المستخدم أن القيمة الأصلية لم تكن وحدة.

أمثلة

مثال 1: إذا كان q1=i وq2=j فإن ضرب هاميلتون يعطي k. لكن إذا عكسنا الترتيب نحصل على j×i=−k. هذا يوضح لماذا لا يكون ضرب الكواتيرنيونات تبادليًا.

مثال 2: إذا كان q=1+2i+3j+4k فإن المرافق هو 1−2i−3j−4k. أما المعيار والمعكوس فيُعرضان كقيم عددية تقريبية عند الحاجة.

مثال 3: كواتيرنيون وحدة يمثل دورانًا بمقدار 90° حول محور z يمكن أن يحوّل المتجه (1,0,0) تقريبًا إلى (0,1,0). الحاسبة تعرض المتجه الناتج، لا مشهدًا ثلاثي الأبعاد مرسومًا.

أخطاء شائعة

• اعتبار ضرب هاميلتون قابلًا لتبديل الترتيب مثل ضرب الأعداد العادية.
• استخدام كواتيرنيون غير وحدي في الدوران دون ملاحظة التطبيع.
• فهم القسمة على أنها قسمة مركبة بمركبة.
• محاولة حساب معكوس الكواتيرنيون الصفري.
• توقع مصفوفة دوران أو زوايا أويلر أو رسم ثلاثي الأبعاد من هذه الأداة.

حدود الحاسبة

تركّز هذه الحاسبة على جبر الكواتيرنيونات وتدوير المتجهات. لا تشمل تحويلات المصفوفات، ولا زوايا أويلر، ولا SLERP، ولا تبسيطًا رمزيًا، ولا حسابًا بدقة غير محدودة.

• لا يوجد إخراج لمصفوفة الدوران.
• لا يوجد تحويل إلى زوايا أويلر.
• لا يوجد وضع interpolation أو SLERP.
• لا يوجد تبسيط رمزي عام.
• العمليات التقريبية محدودة بدقة الأعداد العائمة المعتادة.