Bu kuaterniyon hesaplayıcı ne yapar?

Bu hesaplayıcı iki kuaterniyon arasında temel cebir işlemlerini ve bir kuaterniyonla 3D vektör döndürmeyi hesaplar. Kuaterniyonlar genellikle a+bi+cj+dk biçiminde yazılır; burada a gerçek kısım, b, c ve d ise i, j ve k yönlerindeki sanal bileşenlerdir.

• q1+q2 ve q1−q2: bileşen bileşen toplama ve çıkarma.
• q1×q2: Hamilton çarpımı; sıraya duyarlıdır, genellikle q1×q2 ile q2×q1 aynı değildir.
• conjugate, norm ve inverse: q1'in eşleniği, büyüklüğü ve tersi.
• q1÷q2: q1×q2⁻¹ mantığıyla bölme; q2 sıfır kuaterniyon olamaz.
• rotate: v vektörünü q1 ile döndürme; q1 birim değilse araç normalize eder ve bunu kullanıcıya bildirir.

Kuaterniyon nedir?

Kuaterniyon, bir gerçek bileşen ve üç sanal yön bileşeninden oluşan sayı benzeri bir cebirsel yapıdır. En yaygın yazım q=a+bi+cj+dk biçimidir. Karmaşık sayılar a+bi ile iki bileşenli düşünülebilirken, kuaterniyonlarda i, j ve k yönleri birlikte kullanılır.

Kuaterniyonları özel yapan nokta, i, j ve k birimlerinin çarpım kurallarıdır. Örneğin i×j=k iken j×i=−k olur. Bu yüzden Hamilton çarpımı değişmeli değildir; yani çarpımda sırayı değiştirmek sonucu değiştirebilir.

• Gerçek kısım: a.
• i bileşeni: b.
• j bileşeni: c.
• k bileşeni: d.
• Vektörel kısım: bi+cj+dk.

Hamilton çarpımı nasıl çalışır?

Hamilton çarpımı, kuaterniyon çarpımının standart kuralıdır. Araç q1 ve q2'nin dört bileşenini alır, i, j, k çarpım kurallarını uygular ve sonucu yine a+bi+cj+dk biçiminde verir.

1. Gerçek bileşenler ve vektörel bileşenler birlikte değerlendirilir.
2. i²=j²=k²=−1 ilişkisi hesaba katılır.
3. i×j=k, j×k=i, k×i=j yönleri korunur.
4. Ters sıradaki çarpımlarda işaret değişebileceği için sonuç bileşenleri farklı olabilir.

Örneğin yalnızca temel birimler için i×j=k, fakat j×i=−k olur. Bu küçük örnek, kuaterniyon çarpımının neden yön ve sıralama taşıdığını gösterir.

Norm, eşlenik, ters ve bölme

Kuaterniyonun eşleniği, sanal bileşenlerin işaretini değiştirir: a+bi+cj+dk yerine a−bi−cj−dk yazılır. Norm ise kuaterniyonun büyüklüğünü ifade eder ve sonuç gerçek, pozitif bir değerdir.

• Conjugate: işaretleri çevirerek q̄ değerini verir.
• Norm: q'nun büyüklüğünü yaklaşık olarak gösterir.
• Inverse: q⁻¹ değerini hesaplar; sıfır kuaterniyon için tanımsızdır.
• Divide: q1÷q2 işlemini q1×q2⁻¹ olarak düşünür; q2 sıfır olamaz.

3D vektör döndürme modu

Rotate modu, q1 kuaterniyonunu bir dönüş kuaterniyonu gibi kullanarak v=(x,y,z) vektörünü döndürür. Matematiksel fikir, v vektörünü saf kuaterniyon gibi düşünmek ve q v q⁻¹ biçimindeki sandwich product ile yeni vektörü bulmaktır.

Bu tür döndürmede q1'in birim kuaterniyon olması beklenir. Araç q1 birim değilse otomatik normalize eder ve bunu kullanıcıya görünür şekilde bildirir. Böylece sonuç bir dönüş gibi yorumlanabilir, ama kullanılan kuaterniyonun önce ölçeklendiği de saklanmamış olur.

Örnekler

Örnek 1: q1=i ve q2=j girildiğinde Hamilton product sonucu k olur. Aynı girdilerin sırası değiştirilirse j×i=−k elde edilir. Bu örnek, Hamilton çarpımında sıranın neden temel bir bilgi olduğunu gösterir.

Örnek 2: q=1+2i+3j+4k için conjugate değeri 1−2i−3j−4k olur. Norm ve inverse ise yaklaşık sayısal değerlerle gösterilir; inverse sonucu q×q⁻¹≈1 kontrolüyle düşünülebilir.

Örnek 3: z ekseni etrafında 90° dönüşü temsil eden birim kuaterniyonla (1,0,0) vektörü döndürüldüğünde beklenen yön yaklaşık (0,1,0) olur. Araç bu tür sonucu vektör üçlüsü olarak verir ve gerekiyorsa normalizasyon uyarısı gösterir.

Sık yapılan hatalar

• Hamilton çarpımını sıradan değişmeli çarpım sanmak.
• Döndürme modunda birim olmayan q kullanıldığını fark etmemek.
• q1÷q2 işlemini bileşen bileşen bölme gibi düşünmek.
• Sıfır kuaterniyon için inverse beklemek.
• Kuaterniyon sonucunu doğrudan 3D vektör sanmak; yalnızca rotate modu vektör sonucu verir.

Bu hesaplayıcı neyi kapsamaz?

Bu sayfa kuaterniyon aritmetiği ve vektör döndürme için hazırlanmıştır. Matris dönüşümü, Euler açılarıyla karşılaştırma, SLERP interpolasyonu, arbitrary-precision hesaplama veya sembolik kuaterniyon cebiri bu runtime içinde yer almaz.

• Matris representation üretilmez.
• Euler angle dönüşümü yapılmaz.
• SLERP veya animasyon interpolasyonu hesaplanmaz.
• Sonuçlar görsel 3D sahnede çizilmez.
• Yaklaşık işlemler double-precision düzeyindedir.