Bu hesaplayıcı ne yapar?

Karmaşık sayı hesaplayıcı, a+bi biçimindeki sayılarla çalışır. İki sayı seçildiğinde z₁+z₂, z₁−z₂, z₁×z₂ veya z₁÷z₂ hesaplanır. Bilgi modunda ise tek bir z₁ sayısının modülü, argümanı, kutupsal formu ve eşleniği açıklanır.

• İkili işlemler: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme.
• Tek sayı bilgileri: dikdörtgensel form, kutupsal form, modül, argüman ve eşlenik.
• Ek modlar: principal Log(z₁) ve sınırlı aralıkta tam sayı kuvveti z₁^n.
• Bölmede z₂=0 engellenir; 0^0 ve 0 üzeri negatif kuvvet engellenir.
• Kesirli veya karmaşık üsler bu hesaplayıcının kapsamında değildir.

Karmaşık sayı nasıl okunur?

Karmaşık sayı z=a+bi biçimindedir. Burada a gerçek kısım, b sanal kısmın katsayısıdır. i ise i²=−1 özelliğiyle tanımlanan sanal birimdir.

Bu yapı sayesinde bir karmaşık sayı düzlemde bir nokta veya vektör gibi düşünülebilir. Dikdörtgensel form a ve b bileşenlerini verir; kutupsal form ise aynı sayıyı uzaklık ve açıyla anlatır.

Temel işlemler nasıl hesaplanır?

Toplama ve çıkarma bileşen bileşen yapılır. Çarpma işleminde i²=−1 kuralı kullanılır. Bölmede ise payda karmaşık eşlenikle çarpılarak gerçek bir ifadeye dönüştürülür.

1. Toplama: gerçek kısımlar ve sanal katsayılar ayrı ayrı toplanır.
2. Çıkarma: z₂ bileşenleri z₁ bileşenlerinden çıkarılır.
3. Çarpma: dağıtma yapılır ve i²=−1 dönüşümü uygulanır.
4. Bölme: z₂ sıfır değilse eşlenik yardımıyla z₁/z₂ hesaplanır.

Kutupsal form, modül ve argüman

Modül, karmaşık sayının orijine uzaklığıdır. Argüman ise pozitif gerçek eksenden ölçülen açıdır. Kutupsal form, özellikle çarpma, bölme, kök alma ve kuvvet işlemlerini anlamak için yararlıdır.

• Modül |z| her zaman sıfır veya pozitiftir.
• Argüman radyan ve derece olarak gösterilir.
• Kutupsal form z = r cis(θ) mantığıyla okunur.
• Bu bilgiler yaklaşık sayısal değerler olarak gösterilebilir.

Principal Log(z) ve tam sayı kuvveti

Karmaşık logaritma çok değerli bir kavramdır. Bu hesaplayıcı yalnızca principal value yani asal değer Log(z) sonucunu verir. Bu, tüm olası logaritma dallarını listeleyen bir araç değildir.

Kuvvet modunda yalnızca tam sayı n kabul edilir ve n değeri −50 ile 50 arasında olmalıdır. Bu sınır hem okunabilirliği korur hem de çok büyük kayan noktalı sonuçların kullanıcıyı yanıltmasını azaltır.

Örnekler

Örnek 1: z₁=3+2i ve z₂=1−4i için toplama modunda sonuç 4−2i olur. Gerçek kısımlar 3+1, sanal katsayılar 2+(−4) şeklinde toplanır.

Örnek 2: z₁=2+i ve z₂=1−i için çarpma yapılırsa (2+i)(1−i)=3−i elde edilir. Burada i²=−1 dönüşümü orta adımda belirleyicidir.

Örnek 3: bilgi modunda z₁=3+4i girildiğinde modül 5 olur; argüman ise yaklaşık 53,13° olarak okunur. Bu, dikdörtgensel formdan kutupsal forma geçişi gösterir.

Örnek 4: principal log modunda z₁ için tek bir asal değer gösterilir. Eğer tüm logaritma dallarını arıyorsanız bu sayfa bilinçli olarak o kapsamı sağlamaz.

Yakın hesaplayıcılardan farkı

Bu sayfa genel karmaşık sayı işlemleri içindir. Sadece eşlenik ve |z|² gibi dar bir çıktı istiyorsanız karmaşık eşlenik aracı daha odaklıdır. Tüm n’inci kökleri istiyorsanız karmaşık kök hesaplayıcı daha doğru sayfadır.

• Karmaşık eşlenik aracı: z̄ ve z×z̄ gibi dar bir kontrol için uygundur.
• Karmaşık kök aracı: z sayısının tüm n’inci köklerini listeler.
• i kuvvetleri aracı: yalnızca i^n döngüsünü hızlı görmek için daha sadedir.
• Kuaterniyon aracı: i, j, k bileşenli dört boyutlu sayı yapısı için ayrı bir araçtır.

Sık yapılan hatalar ve sınırlar

• i² değerini +1 sanmak. Doğru değer −1’dir.
• Bölmede z₂=0 durumunu gözden kaçırmak.
• Argümanı tek bir açı gibi mutlak sanmak; açı gösterimi dal seçimine bağlı olabilir.
• Principal log sonucunu tüm logaritma dalları sanmak.
• Kesirli veya karmaşık üs girmek istemek; bu hesaplayıcı yalnızca tam sayı kuvveti destekler.