ماذا تحسب هذه الأداة؟

تحلل هذه الأداة ثلاثي الحدود من الشكل ax²+bx+c على الأعداد الصحيحة. إذا كان التحليل ممكنًا، تعرض الناتج كحاصل ضرب حدين. وإذا لم يكن ممكنًا ضمن هذا النطاق، توضّح أن التعبير لا يتحلل على الأعداد الصحيحة.

تعتمد الأداة على طريقة AC: حساب a×c، البحث عن عددين حاصل ضربهما a×c ومجموعهما b، تقسيم الحد الأوسط، ثم التجميع والتحقق بالتوسيع.

ما معنى تحليل ثلاثي الحدود؟

تحليل ثلاثي الحدود يعني كتابة تعبير تربيعي مكوّن من ثلاثة حدود على صورة حاصل ضرب تعبيرين أبسط. مثلًا x²+5x+6 يمكن كتابته على صورة (x+2)(x+3).

الفكرة هي عكس التوسيع. عند توسيع (x+2)(x+3) نحصل على x²+5x+6. أما التحليل فيبدأ من x²+5x+6 ويعود إلى صورة الضرب.

• ثلاثي الحدود: في هذه الأداة هو تعبير من الشكل ax²+bx+c.
• التحليل: تحويل التعبير إلى حاصل ضرب عوامل.
• طريقة AC: استخدام حاصل a×c للعثور على عددين يقسمان الحد الأوسط.
• على الأعداد الصحيحة: تبحث الأداة عن عوامل ذات معاملات صحيحة ضمن نطاقها.

كيف تعمل طريقة AC؟

في طريقة AC نبحث عن عددين حاصل ضربهما a×c ومجموعهما b. عند إيجاد هذا الزوج، نقسم الحد الأوسط bx إلى حدين، ثم نستخدم التجميع لإخراج العامل المشترك.

1. احسب قيمة a×c.
2. ابحث عن عددين حاصل ضربهما a×c ومجموعهما b.
3. اقسم الحد الأوسط bx إلى حدين باستخدام هذا الزوج.
4. جمّع الحدود الأربعة في مجموعتين.
5. أخرج العامل المشترك من كل مجموعة.
6. استخرج الحد الثنائي المشترك وتحقق بالتوسيع.

مثال كامل: تحليل 2x²+7x+3

في التعبير 2x²+7x+3 لدينا a=2 وb=7 وc=3، لذلك a×c يساوي 6. العددان اللذان حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 7 هما 1 و6.

1. نقسم الحد الأوسط: 2x²+7x+3 = 2x²+x+6x+3.
2. نجمّع: (2x²+x)+(6x+3).
3. نخرج العامل المشترك: x(2x+1)+3(2x+1).
4. نأخذ الحد الثنائي المشترك: (2x+1)(x+3).
5. التحقق بالتوسيع: (2x+1)(x+3)=2x²+6x+x+3=2x²+7x+3.

الثلاثي المربع الكامل والحالات الخاصة

بعض التعبيرات لها نمط معروف. مثلًا x²+6x+9 يتحلل إلى (x+3)² لأنه يمكن اختيار 3 و3 كزوج يحقق الجداء والمجموع.

كما يمكن أن تظهر حالة فرق مربعين عندما يكون الحد الأوسط صفرًا، مثل x²−9 التي يمكن فهمها كـ x²+0x−9 وتتحلل إلى (x−3)(x+3).

• ثلاثي مربع كامل: x²+6x+9 → (x+3)².
• ثلاثي مربع كامل بإشارة سالبة: x²−6x+9 → (x−3)².
• فرق مربعين: x²−9 → (x−3)(x+3).

هل هذه الصفحة مختلفة عن Ters FOIL؟

من جهة الحساب، لا. تستخدم هذه الصفحة نفس المحرك. لكن بعض المستخدمين يبحثون باسم طريقة Ters FOIL، وبعضهم يبحث باسم تحليل ثلاثي الحدود. لذلك توجد صفحة موجهة لكل نية بحثية.

هذا يمنع التضليل: لا نقول إن هناك أداة جديدة أو أقوى. بل نشرح نفس العملية بلغة تناسب من يريد تحديدًا تحليل ax²+bx+c.

الفرق بينها وبين الأدوات القريبة

تحليل ثلاثي الحدود لا يساوي ضرب كثيرات الحدود ولا يغطي كل أنواع التحليل. اختيار الأداة الصحيحة يجنّب الخلط بين التوسيع والتحليل والطرق المرئية.

• استخدم ضرب كثيرات الحدود إذا كنت تريد توسيع حاصل ضرب تعبيرات.
• استخدم FOIL إذا كنت تريد ضرب حدين ثنائيين.
• استخدم طريقة الصندوق إذا أردت عرضًا مرئيًا لطريقة AC.
• استخدم مسألة الماسة إذا أردت فقط العثور على زوج الجداء والمجموع.
• استخدم حاسبة ثلاثي المربع الكامل عند الشك في صيغة (px±q)².

طريقة الاستخدام

أدخل معاملات a وb وc من التعبير ax²+bx+c. تعرض الأداة حاصل a×c، وزوج الأعداد المناسب إن وجد، وتقسيم الحد الأوسط، ثم الصورة المحللة.

1. أدخل a، ويجب ألا يكون صفرًا.
2. أدخل b، وهو معامل الحد الأوسط.
3. أدخل c، وهو الحد الثابت.
4. راجع زوج الجداء والمجموع في النتيجة.
5. اقرأ الصورة النهائية وتحقق منها بالتوسيع.

أخطاء شائعة

الخطأ الأكثر شيوعًا هو البحث عن عددين مجموعهما b فقط. في طريقة AC يجب أن يكون حاصل ضربهما a×c أيضًا.

• استخدام c بدل a×c عندما لا تكون a مساوية لـ 1.
• نسيان الإشارات السالبة عند وجود c سالب.
• تقسيم الحد الأوسط صحيحًا ثم التجميع بشكل خاطئ.
• افتراض أن كل ثلاثي حدود يتحلل على الأعداد الصحيحة.
• اعتبار عدم التحليل على الأعداد الصحيحة حكمًا على كل الجذور الممكنة.

حدود الحاسبة

تعمل هذه الحاسبة على ثلاثيات حدود تربيعية ذات معاملات صحيحة من الشكل ax²+bx+c. لا تقدم تحليلًا رمزيًا عامًا لكل كثيرات الحدود، ولا تحل معاملات رمزية أو درجات أعلى.