ماذا تحسب هذه الحاسبة؟

تحسب هذه الحاسبة تفكيك الدالة الكسرية المناسبة إلى كسور جزئية. المقصود بالدالة المناسبة هنا أن تكون درجة البسط أصغر من درجة المقام.

لا تعرض الحاسبة النتيجة النهائية فقط. بل تعرض قالب التفكيك، ثم قيم المعاملات المجهولة، ثم شارة تحقق عددي عند قيم مختارة من x لا تجعل المقام صفرًا.

• تدعم العوامل الخطية المختلفة، مثل (x-1)(x+2).
• تدعم العوامل الخطية المكررة، مثل (x-1)² أو (x+3)³.
• تدعم العوامل التربيعية غير القابلة للتحليل إلى عوامل خطية حقيقية، مثل x²+1.
• لا تقوم بتحليل مقام مكتوب عشوائيًا كنص حر إلى عوامل تلقائيًا.
• ترفض الكسر غير المناسب وتوجه إلى قسمة كثيرات الحدود أولًا.

ما معنى تفكيك الكسور الجزئية؟

تفكيك الكسور الجزئية يعني كتابة دالة كسرية واحدة على شكل مجموع كسور أبسط. يستخدم هذا الأسلوب كثيرًا في التكامل، وتحويل لابلاس العكسي، وتحليل الدوال الكسرية في الجبر.

بدل أن تتعامل مع كسر واحد مقامه مركب، تفصل الدالة إلى أجزاء أصغر. كل جزء له مقام أبسط وقالب بسط مناسب لطبيعة العامل في المقام.

لماذا يُدخل المقام كبطاقات عوامل؟

يُدخل المقام كبطاقات عوامل لأن تحليل أي مقام مكتوب عشوائيًا إلى عوامل ليس وظيفة آمنة داخل هذه الحاسبة. المستخدم يحدد بنية العوامل، ثم تبني الحاسبة نظام المعاملات بناءً على هذه البنية.

هذا مهم تعليميًا أيضًا. يرى المستخدم هل العامل خطي، أو خطي مكرر، أو تربيعي غير قابل للتحليل إلى عوامل خطية حقيقية، بدل أن يخفي البرنامج هذه الخطوة.

• بطاقة العامل الخطي تمثل عاملًا من الشكل x-r.
• بطاقة العامل التربيعي تمثل x²+bx+c عندما يكون المميز سالبًا.
• العامل المكرر لا يُدخل كبطاقات مكررة، بل من خلال قيمة التكرار في البطاقة نفسها.
• حدود عدد العوامل والدرجة الكلية موجودة لكي تبقى النتيجة قابلة للقراءة.

ما القوالب التي تستخدمها الحاسبة؟

قالب الكسر الجزئي يعتمد على نوع العامل في المقام. العامل الخطي يأخذ بسطًا ثابتًا، أما العامل التربيعي غير القابل للتحليل فيأخذ بسطًا خطيًا من الشكل Ax+B.

• العامل الخطي المختلف: A/(x-r).
• العامل الخطي المكرر: A1/(x-r) + A2/(x-r)² + ... مع حد لكل قوة.
• العامل التربيعي غير القابل للتحليل: (Ax+B)/(x²+bx+c).
• العامل التربيعي المكرر: حد ببسط خطي لكل قوة مدعومة من العامل.

كيف تُوجد المعاملات؟

تُوجد المعاملات بجمع الكسور الجزئية على مقام مشترك، ثم مساواة معاملات كثير الحدود الناتج بمعاملات البسط الأصلي درجة بدرجة. من هذه المساواة يتكون نظام خطي للمعاملات المجهولة.

1. تبني الحاسبة المقام الكامل D(x) من العوامل المدخلة.
2. تحسب مساهمة كل معامل مجهول بقسمة D(x) على قوة العامل المناسبة.
3. في العامل التربيعي، يؤخذ جزء x وجزء الثابت في البسط كمعاملين مجهولين.
4. تتم مساواة معاملات كثير الحدود الناتج مع معاملات البسط الأصلي.
5. يُحل النظام الخطي، ثم توضع القيم في قالب التفكيك.

لذلك لا تعتمد الحاسبة على تجربة قيم عشوائية فقط. الحل الأساسي هو حل هوية حدودية، والتحقق العددي يأتي بعد ذلك كفحص إضافي.

مثال: عوامل خطية مختلفة

عند وجود عوامل خطية مختلفة، يأخذ كل عامل بسطًا ثابتًا. مثلًا: (5x+3)/((x-1)(x+2)) تُكتب على شكل A/(x-1) + B/(x+2).

1. بعد توحيد المقام: A(x+2) + B(x-1) = 5x + 3.
2. بمساواة المعاملات نحصل على: A+B = 5 و 2A-B = 3.
3. بحل النظام: A = 8/3 و B = 7/3.
4. النتيجة: (8/3)/(x-1) + (7/3)/(x+2).

مثال: عامل خطي مكرر

إذا كان العامل الخطي مكررًا، فلا نكتب حدًا واحدًا للقوة الكبرى فقط. لكل قوة حد خاص. مثلًا: (3x+5)/(x-1)² يأخذ القالب A/(x-1) + B/(x-1)².

1. بعد توحيد المقام: A(x-1) + B = 3x + 5.
2. من معامل x نجد A = 3.
3. من الحد الثابت: -A + B = 5، إذن B = 8.
4. النتيجة: 3/(x-1) + 8/(x-1)².

مثال: عامل تربيعي غير قابل للتحليل

العامل التربيعي غير القابل للتحليل يحتاج بسطًا خطيًا. مثلًا: (2x²+3x+5)/((x-1)(x²+1)) تُكتب على شكل A/(x-1) + (Bx+C)/(x²+1).

1. بعد توحيد المقام: A(x²+1) + (Bx+C)(x-1) = 2x² + 3x + 5.
2. بمساواة المعاملات: A+B = 2، و C-B = 3، و A-C = 5.
3. بحل النظام: A = 5، و B = -3، و C = 0.
4. النتيجة: 5/(x-1) - 3x/(x²+1).

كيف تقرأ شارة التحقق؟

شارة التحقق تعني أن التعبير المفكك أعطى النتيجة نفسها التي يعطيها الكسر الأصلي عند عدة قيم مختارة من x، مع تجنب القيم التي تجعل المقام صفرًا.

هذه الشارة مفيدة كفحص إضافي. لكنها ليست بديلًا عن حل المعاملات؛ الحل الحقيقي يأتي من مساواة المعاملات وحل النظام الخطي.

أخطاء شائعة

أكثر الأخطاء شيوعًا في تفكيك الكسور الجزئية هو إدخال بنية المقام خطأ، أو محاولة تفكيك كسر غير مناسب قبل قسمة كثيرات الحدود.

• نسيان أن درجة البسط إذا كانت أكبر أو مساوية لدرجة المقام، فيجب البدء بقسمة كثيرات الحدود.
• إدخال x²-5x+6 كعامل تربيعي غير قابل للتحليل رغم أنه يتحلل إلى عوامل خطية.
• تكرار بطاقة العامل نفسه بدل استخدام قيمة التكرار.
• نسيان أن العامل المكرر يحتاج حدًا لكل قوة.
• قراءة التحقق العددي كأنه كل البرهان، مع أن الحل قائم على هوية حدودية.

حدود هذه الحاسبة

تعمل الحاسبة بعوامل مقام منظمة، ولا تحلل مقامًا عشوائيًا مكتوبًا كنص حر. هذا حد مقصود لتجنب نتائج مضللة في التحليل الآلي للعوامل.

• الدرجة الكلية للمقام محدودة بـ 6.
• عدد بطاقات العوامل محدود بـ 4.
• تكرار العامل الخطي مدعوم حتى 3.
• تكرار العامل التربيعي غير القابل للتحليل مدعوم حتى 2.
• الكسر غير المناسب يُرفض حتى تُجرى قسمة كثيرات الحدود أولًا.
• الأداة ليست نظام جبر رمزيًا عامًا ولا محللًا تلقائيًا لكل كثيرات الحدود.