تم إعداد حاسبة نظرية فيثاغورس من Hesapstan لإيجاد الضلع الثالث في مثلث قائم انطلاقًا من الضلعين المعلومين، اعتمادًا على العلاقة a² + b² = c². أدخل الضلعين القائمين واترك خانة الوتر فارغة ليُحسب c = √(a² + b²)؛ أو أدخل الوتر وأحد الضلعين القائمين فتُحسب الضلع المتبقي بالعلاقة √(c² − a²). وإذا ملأت الأضلاع الثلاثة جميعًا فلا يبقى مجهول يُحسب، فتطبّق الحاسبة عكس النظرية وتخبرك إن كانت هذه الأطوال الثلاثة تكوّن مثلثًا قائمًا، مع مراعاة دقة المنازل العشرية التي أدخلتها فعلًا. تُسبق النتيجة بعلامة ≈ حين تكون القيمة المعروضة مقرّبة، ويحمل الناتج وحدة الأضلاع نفسها التي أدخلتها، ولا تفترض الأداة وجود الزاوية القائمة نيابةً عنك.
ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تعرض الحاسبة ثلاث خانات للأضلاع: الضلعان القائمان a وb، والوتر c. اترك خانة الضلع الذي تريد إيجاده فارغة واملأ الخانتين الأخريين. تظهر الخطوات الوسيطة — المربّعات ومجموعها أو فرقها — في صفوف منفصلة، ويوضع الضلع المطلوب في صف النتيجة الرئيسية.
- أدخل a وb واترك c فارغة ← يُحسب الوتر c = √(a² + b²).
- أدخل c وأحد الضلعين القائمين ← يُحسب الضلع المتبقي بالعلاقة √(c² − a²).
- أدخل الأضلاع الثلاثة ← تتحقق الحاسبة من كون المثلث قائمًا بحسب الدقة التي أدخلتها.
- كل ضلع تُدخله يجب أن يكون موجبًا، وعند إيجاد ضلع قائم يجب أن يتجاوز الوترُ الضلعَ المعلوم.
- تُسبق النتيجة المقرّبة إلى عدد الأرقام المعروضة بعلامة ≈.
ما هي نظرية فيثاغورس؟
تنص نظرية فيثاغورس على أن مربعَي الضلعين القائمين في المثلث القائم مجموعهما يساوي مربع الوتر: a² + b² = c².
- a = 3, b = 4 → c = √(9 + 16) = √25 = 5 (ثلاثية 3-4-5).
- a = 5, b = 12 → c = √(25 + 144) = √169 = 13 (ثلاثية 5-12-13).
- a = 1, b = 1 → c = √2 ≈ 1,4142135624.
الحاسبة وكيفية الاستخدام
- أدخل طولَي الضلعين اللذين تعرفهما.
- اترك خانة الضلع الذي تريد إيجاده فارغة.
- استخدم الفاصلة أو النقطة العشرية عند الحاجة (مثل 2,5 أو 2.5).
- اقرأ صفوف النتيجة: المربّعات الوسيطة ثم الضلع المطلوب في صف النتيجة الرئيسية.
- أو أدخل الأضلاع الثلاثة معًا لتخبرك الحاسبة إن كان المثلث قائمًا عند الدقة التي أدخلتها.
النظرية صحيحة فقط للمثلثات القائمة. وحين تُدخل ضلعين فقط وتترك الثالث ليُحسب، تفترض الحاسبة وجود الزاوية القائمة لأنه لا يوجد قياس ثالث للتحقق منها؛ ولا يجري التحقق فعليًا إلا عند إدخال الأضلاع الثلاثة.
مثال محلول خطوة بخطوة
لنفترض أن الضلعين القائمين هما a = 9 وb = 12. نربّع كل ضلع أولًا: a² = 81 وb² = 144. ثم نجمع المربّعين: 81 + 144 = 225. وأخيرًا نأخذ الجذر التربيعي للمجموع: c = √225 = 15. الناتج عدد صحيح هنا لأن (9، 12، 15) ثلاثية فيثاغورس، وهي مضاعف الثلاثية (3، 4، 5) بثلاثة.
- a² = 9² = 81.
- b² = 12² = 144.
- a² + b² = 81 + 144 = 225.
- c = √225 = 15.
ولو غيّرنا أحد الضلعين قليلًا إلى b = 12.5 لأصبح المجموع 81 + 156.25 = 237.25 والوتر c ≈ 15.4029. عندئذ تعرض الحاسبة العلامة ≈ للدلالة على أن القيمة مقرّبة وليست تامة. لاحظ أيضًا أن الوتر أكبر من كل من الضلعين القائمين دائمًا، وهو ما يصلح للتحقق السريع من معقولية الناتج.
أين تُستخدم النظرية؟
تُستخدم نظرية فيثاغورس في الهندسة والفيزياء والبناء والقياسات اليومية. فمتى عُرفت المسافتان الأفقية والرأسية بين موضعين، أمكن حساب المسافة المستقيمة بينهما بهذه النظرية.
- طول قطر مستطيل من طوله وعرضه.
- طول سُلّم مائل من ارتفاعه عن الأرض وبعد قاعدته عن الجدار.
- المسافة المستقيمة بين نقطتين في المستوى الإحداثي.
- التحقق من كون زاوية بناء قائمة فعلًا بقياس الأضلاع الثلاثة.
أخطاء شائعة
- إدخال الوتر في خانة ضلع قائم: الوتر أطول الأضلاع دائمًا وله خانته الخاصة.
- تطبيق النظرية على مثلث غير قائم: العلاقة صحيحة فقط عند وجود زاوية 90°، ويلزم قانون جيب التمام في غير ذلك.
- جمع الضلعين مباشرة (a + b) بدل جمع مربّعيهما.
- إدخال وتر أقصر من الضلع القائم المعلوم عند إيجاد ضلع: لا وجود لمثلث كهذا، وترفضه الحاسبة.
- إدخال صفر أو عدد سالب كطول ضلع؛ الأطوال يجب أن تكون موجبة.
القيود
تعمل هذه الحاسبة بعلاقة المثلث القائم وحدها. تجد الضلع الثالث من الضلعين المعلومين، وحين تُدخل ضلعين فقط يلزمها أن تفترض أن المثلث قائم فعلًا لأنه لا يتوفّر قياس ثالث للتحقق. ولا يجري فحص الزاوية القائمة إلا عند إدخال الأضلاع الثلاثة، وهو فحص يراعي عدد المنازل العشرية التي كتبتها: فإذا كان √(a² + b²) يُقرَّب إلى الوتر الذي أدخلته عند تلك الدقة، عُدّت الأطوال متوافقة، ولا تقول الأداة عندئذ إن المثلث قائم قطعًا بل إنه متوافق بدقة الأرقام المُدخَلة. ولا تعرض الأداة زوايا ولا مساحة ولا محيطًا، ولا تفحص أي شرط آخر لإمكان إنشاء المثلث. أطوال الأضلاع محدودة بمقدار 1e15. لا تُستخدم أي بيانات رسمية أو API أو مصدر خارجي.
أسئلة شائعة
ما هي نظرية فيثاغورس؟
تنص على أن مجموع مربعي الضلعين القائمين يساوي مربع الوتر: a² + b² = c².
هل تنطبق النظرية على مثلثات غير قائمة؟
لا. تنطبق فقط على المثلثات ذات زاوية 90°.
ما هي ثلاثية 3-4-5؟
مثلث أضلاعه 3 و4 و5 لأن 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
هل يمكن إدخال أطوال عشرية؟
نعم. فمثلًا a = 2,5 وb = 6 يعطي c = 6,5 تمامًا. وتُقبل الفاصلة والنقطة كفاصل عشري.
ماذا يحدث عند إدخال صفر أو عدد سالب؟
تعرض الحاسبة ملاحظة بأن الأضلاع يجب أن تكون موجبة ولا تُجري أي حساب.
هل يمكن إيجاد ضلع قائم إذا كان الوتر معلومًا؟
نعم. أدخل الوتر وأحد الضلعين القائمين واترك خانة الضلع الآخر فارغة، فيُحسب الضلع المجهول بالعلاقة √(c² − a²).
هل تتحقق الحاسبة من شرط المثلث القائم؟
تتحقق منه عند إدخال الأضلاع الثلاثة، والفحص يراعي الدقة التي كتبتها: فعند a = 3 وb = 5 يكون الوتر المضبوط √34 ≈ 5,8309518948، فإدخال c = 5,83 تقريب صحيح عند منزلتين عشريتين وتُعدّ الأطوال متوافقة بتلك الدقة، بينما يُرفض c = 5,82 أو c = 5,84. أما إذا أدخلت ضلعين فقط وتركتها تحسب الثالث، فتُفترض الزاوية القائمة لعدم وجود قياس ثالث يُقارن به.
ما معنى علامة ≈ قبل النتيجة؟
تعني أن القيمة المعروضة قُرِّبت إلى عدد الأرقام الظاهرة. فمثلًا عند a = b = 1 لا يمكن كتابة c = √2 بدقة تامة، فتظهر ≈ 1,4142135624.