حاسبة الأعداد المثلثية، مقدمة من Hesapstan، تساعدك على إيجاد العدد المثلثي رقم n، والتحقق مما إذا كان عدد صحيح موجب عددًا مثلثيًا، وإنشاء متتالية الأعداد المثلثية حتى الحد المطلوب.
الأعداد المثلثية هي مجموع الأعداد من 1 إلى n
العدد المثلثي هو عدد يمكن تمثيله بنقاط مرتبة على شكل مثلث. تبدأ المتتالية هكذا: 1، 3، 6، 10، 15.
رياضياً، العدد المثلثي رقم n يساوي مجموع 1 + 2 + 3 + ... + n. لذلك يظهر هذا النوع من الأعداد في مسائل الأنماط والعدّ وبعض موضوعات نظرية الأعداد البسيطة.
الأعداد المثلثية نوع من الأعداد الشكلية. هذه الحاسبة مخصصة للأعداد المثلثية فقط؛ ولا تحسب الأعداد المربعة أو الخماسية أو غيرها من الأعداد الشكلية.
القانون هو T(n) = n(n+1)/2
عندما يكون n عددًا صحيحًا موجبًا، يُحسب العدد المثلثي رقم n بهذا القانون:
T(n) = n(n + 1) / 2
مثلاً عند n = 5 نحصل على T(5) = 5 × 6 / 2 = 15. وهذا يساوي أيضًا مجموع 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
تعتمد هذه الحاسبة التعريف القياسي لمتتالية الأعداد المثلثية، لذلك تقبل الأعداد الصحيحة الموجبة فقط. الأعداد السالبة والعشرية غير مدعومة هنا.
تدعم الحاسبة ثلاثة أوضاع للأعداد المثلثية
تستخدم الحاسبة الفكرة نفسها في ثلاثة أوضاع عملية:
- إيجاد T(n): أدخل n لتحصل على العدد المثلثي رقم n.
- التحقق من عدد: أدخل عددًا لمعرفة هل هو عدد مثلثي أم لا.
- إنشاء المتتالية: عرض الحدود T(1)، T(2)، ...، T(n).
بهذه الطريقة يمكن استخدام الصفحة للحساب المباشر، أو للتحقق من إجابة، أو لفهم نمط المتتالية خطوة بخطوة.
يكون العدد مثلثيًا إذا أعطى القانون العكسي عددًا صحيحًا
للتحقق مما إذا كانت قيمة T عددًا مثلثيًا، تستخدم الحاسبة العلاقة العكسية:
n = (-1 + √(1 + 8T)) / 2
إذا كانت نتيجة n عددًا صحيحًا موجبًا، فإن T عدد مثلثي. مثلاً عند T = 10 تكون النتيجة n = 4، لذلك 10 عدد مثلثي.
أما عند T = 12 فلا يعطي القانون العكسي عددًا صحيحًا موجبًا، لذلك 12 ليس حدًا من متتالية الأعداد المثلثية القياسية.
نموذج النقاط يوضح سبب تسمية هذه الأعداد بالمثلثية
تأتي التسمية من ترتيب النقاط في صفوف متزايدة: نقطة في الصف الأول، نقطتان في الصف الثاني، ثلاث نقاط في الصف الثالث، وهكذا. عند ثلاثة صفوف يكون المجموع 1 + 2 + 3 = 6.
هذا التمثيل البصري يشرح أيضًا القانون؛ فعدد النقاط في n صفوف يساوي مجموع أول n أعداد صحيحة موجبة، وهذا المجموع يساوي n(n+1)/2.
الأمثلة تعرض نتائج الأوضاع الثلاثة مباشرة
- عند n = 5 تكون النتيجة T(5) = 15.
- العدد 10 مثلثي؛ لأنه يساوي T(4).
- العدد 12 ليس مثلثيًا؛ لأن القانون العكسي لا يعطي عددًا صحيحًا موجبًا.
- عند n = 6 تكون المتتالية: 1، 3، 6، 10، 15، 21.
حدود الحاسبة مرتبطة بالأعداد الصحيحة الموجبة والمتتالية المثلثية
هذه الأداة تتبع التعريف القياسي للأعداد المثلثية ضمن الأعداد الصحيحة الموجبة. لذلك فهي مناسبة للتعلم والتحقق وإنشاء المتتالية، لا لحساب كل أنواع الأعداد الشكلية.
- لا تحسب الأعداد المربعة أو الخماسية أو غيرها من الأعداد الشكلية.
- الأعداد السالبة والعشرية مرفوضة.
- القيم الكبيرة جدًا لـ n قد تنتج قائمة طويلة يصعب قراءتها عمليًا.
- وضع المتتالية يعرض أول n حدود فقط، ولا يولد متتالية لا نهائية.
أسئلة شائعة
ما هو العدد المثلثي؟
هو عدد يساوي مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n، ويمكن تمثيله بنقاط مرتبة على شكل مثلث.
ما قانون العدد المثلثي رقم n؟
القانون هو T(n) = n(n+1)/2. مثلاً عند n = 5 تكون النتيجة 15.
كيف أتحقق هل عدد ما مثلثي؟
نحسب n = (-1 + √(1+8T)) / 2. إذا كانت النتيجة عددًا صحيحًا موجبًا، فالعدد T مثلثي.
هل 10 عدد مثلثي؟
نعم. العدد 10 هو العدد المثلثي الرابع، لأن 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
هل 12 عدد مثلثي؟
لا. عند تطبيق القانون العكسي على 12 لا نحصل على عدد صحيح موجب.
هل تحسب هذه الأداة الأعداد المربعة؟
لا. هذه الحاسبة مخصصة للأعداد المثلثية فقط، وليست لحساب الأعداد المربعة أو الخماسية أو بقية الأعداد الشكلية.
هل يمكن إدخال قيمة عشرية لـ n؟
لا. تستخدم الحاسبة مواقع صحيحة موجبة في متتالية الأعداد المثلثية، لذلك لا تقبل القيم العشرية أو السالبة.
ماذا يفعل وضع المتتالية؟
يعرض الحدود من T(1) إلى T(n). مثلاً عند n = 6 يعرض: 1، 3، 6، 10، 15، 21.