ماذا تحسب هذه الأداة؟

تحسب هذه الأداة حاصل ضرب ثنائيي حدود من الشكل (ax+b)(cx+d)، ثم تكتب الناتج في صورة تعبير تربيعي قياسي.

تشترك هذه الصفحة في نفس منطق الحساب مع حاسبة FOIL. الفرق هنا ليس في الخوارزمية، بل في نية البحث: بعض المستخدمين يبحثون عن ضرب ثنائيي الحدود دون استخدام اسم FOIL.

• نموذج الإدخال: تعبيران من نوع ثنائي الحدود.
• نموذج الإخراج: خطوات First وOuter وInner وLast ثم الناتج بعد الجمع.
• حالة النتيجة: نتيجة حسابية دقيقة حسب المعاملات المدخلة.
• النطاق: ضرب ثنائي حدود في ثنائي حدود، لا ضرب كثيرات حدود عامة.

ما معنى ضرب ثنائيي الحدود؟

ضرب ثنائيي الحدود يعني ضرب كل حد في التعبير الأول بكل حد في التعبير الثاني، ثم جمع الحدود المتشابهة.

في المثال (2x+3)(x+5)، يوجد حدان في كل قوس. لذلك تظهر أربعة حواصل ضرب صغيرة، ثم يجمع الحدان اللذان يحتويان على x.

• First: ضرب الحدين الأولين.
• Outer: ضرب الحدين الخارجيين.
• Inner: ضرب الحدين الداخليين.
• Last: ضرب الحدين الأخيرين.

غالبًا يكون الناتج ثلاثي حدود من الشكل ax²+bx+c. وإذا كان أحد المعاملات يساوي صفرًا، فقد يظهر الناتج بعدد حدود أقل، لكن قاعدة الضرب نفسها لا تتغير.

هل ضرب ثنائيي الحدود هو نفسه FOIL؟

FOIL هو اسم لطريقة مرتبة لضرب ثنائيي الحدود. أما ضرب ثنائيي الحدود فهو وصف العملية نفسها بلغة عامة.

لذلك تشترك هذه الصفحة مع حاسبة FOIL في نفس السلوك الحسابي. صفحة FOIL تبرز اسم الطريقة، وهذه الصفحة تركز على عبارة البحث: ضرب ثنائيي الحدود.

كيف تتم عملية الحساب؟

توسع الأداة التعبير (ax+b)(cx+d) إلى أربعة حواصل ضرب: acx² وadx وbcx وbd.

1. اضرب الحدين الأولين: ax · cx = acx².
2. اضرب الحدين الخارجيين: ax · d = adx.
3. اضرب الحدين الداخليين: b · cx = bcx.
4. اضرب الحدين الأخيرين: b · d = bd.
5. اجمع الحدين الأوسطين: adx + bcx = (ad+bc)x.
6. اكتب الناتج النهائي: acx² + (ad+bc)x + bd.

عرض الخطوات منفصلة يساعد على فهم مصدر الحد الأوسط، بدل الاكتفاء بالناتج النهائي.

مثال: (2x+3)(x+5)

في التعبير (2x+3)(x+5)، تبني خطوات FOIL الناتج بطريقة مرتبة.

1. First: 2x · x = 2x².
2. Outer: 2x · 5 = 10x.
3. Inner: 3 · x = 3x.
4. Last: 3 · 5 = 15.
5. جمع الحدين الأوسطين: 10x + 3x = 13x.
6. الناتج: 2x² + 13x + 15.

يوضح هذا المثال لماذا لا يبقى الحدان 10x و3x منفصلين في الناتج. كلاهما من نفس الدرجة، ولذلك يجمعان في حد واحد.

مثال مع معاملات سالبة

المعاملات السالبة تجعل أخطاء الإشارة أكثر احتمالًا. لذلك يفيد عرض كل خطوة على حدة.

1. التعبير: (3x−4)(2x+1).
2. First: 3x · 2x = 6x².
3. Outer: 3x · 1 = 3x.
4. Inner: −4 · 2x = −8x.
5. Last: −4 · 1 = −4.
6. الحد الأوسط: 3x − 8x = −5x.
7. الناتج: 6x² − 5x − 4.

ما الفرق بينها وبين ضرب كثيرات الحدود؟

هذه الأداة مخصصة لضرب ثنائي حدود في ثنائي حدود فقط. أما ضرب كثيرات الحدود العام فيتعامل مع أي عدد من الحدود في كل تعبير.

• استخدم هذه الصفحة لتعبيرات مثل (2x+3)(x+5).
• استخدم حاسبة ضرب كثيرات الحدود لتعبيرات مثل (x²+2x+1)(3x³−x+4).
• FOIL طريقة تعليمية مختصرة لثنائيي الحدود فقط.
• نموذج المساحة أو طريقة الصندوق قد تكون أكثر بصرية، أما هذه الصفحة فتركز على تسلسل FOIL المباشر.

متى تستخدم هذه الحاسبة؟

تستخدم هذه الحاسبة عند توسيع حاصل ضرب ثنائيي حدود، أو عند التحقق من خطوات FOIL، أو عند اختبار نتيجة تحليل ثلاثي حدود بالضرب العكسي.

• تحويل حاصل ضرب ثنائيي حدود إلى صيغة قياسية.
• تعلم ترتيب خطوات FOIL أو مراجعتها.
• التحقق من نتيجة تحليل تعبير تربيعي.
• فهم الفرق بين ضرب ثنائيي حدود ومربع ثنائي الحدود.
• اكتشاف خطأ في الإشارة أو في جمع الحد الأوسط.

أخطاء شائعة

معظم أخطاء ضرب ثنائيي الحدود تأتي من نسيان أحد حواصل الضرب أو من التعامل الخاطئ مع الإشارة السالبة.

• ضرب الحدين الأول والأخير فقط ونسيان الحدين الخارجي والداخلي.
• عدم جمع الحدين الأوسطين بعد التوسيع.
• إسقاط الإشارة السالبة من أحد الحدود.
• الخلط بين (a+b)² وبين (a+b)(c+d).
• محاولة استخدام FOIL مع تعبيرات ليست ثنائية الحدود.

حدود الحاسبة

هذه الحاسبة توسع حاصل ضرب ثنائيي حدود فقط. هي ليست نظام جبر عامًا، ولا تقوم بتحليل التعبيرات إلى عوامل.

كما أن الحاسبة لا تحدد طريقة تحليل ثلاثي الحدود. إذا كان لديك ax²+bx+c وتريد إيجاد العوامل، فاختر أداة تحليل مناسبة مثل Ters FOIL أو طريقة الصندوق أو نموذج المساحة.